Номер 18.21, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.21. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что отрезки $BO$ и $A_1C_1$, перпендикулярны.

18.21. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что отрезки $BO$ и $A_1C_1$ перпендикулярны.

Рассмотрим четырехугольник $AC_1A_1C$. Поскольку $AA_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, то $∠AA_1C = 90°$ и $∠AC_1C = 90°$.

Так как углы $∠AC_1C$ и $∠AA_1C$ прямые и опираются на один и тот же отрезок $AC$, точки $A, C_1, A_1, C$ лежат на одной окружности, для которой $AC$ является диаметром.

Вписанные в эту окружность углы $∠AC_1A_1$ и $∠ACA_1$ опираются на одну и ту же дугу $AA_1$. Следовательно, $∠AC_1A_1 = ∠ACA_1 = ∠C$. Однако, это не совсем то, что нам нужно. Рассмотрим другой подход.

Поскольку четырехугольник $AC_1A_1C$ вписанный, сумма его противоположных углов равна $180°$. Также, угол, смежный с вписанным углом, равен противоположному углу четырехугольника. Рассмотрим угол $∠BC_1A_1$. Он смежный с углом $∠AC_1A_1$. Угол, противоположный $∠AC_1A_1$, это $∠ACA_1$. Нет, это неверно. Внешний угол вписанного четырехугольника равен внутреннему углу, не смежному с ним. Таким образом, для четырехугольника $AC_1A_1C$ внешний угол при вершине $C_1$, то есть $∠BC_1A_1$, равен внутреннему углу при вершине $A$, то есть $∠BAC$. Обозначим $∠BAC = α$. Итак, $∠BC_1A_1 = α$.

Теперь рассмотрим отрезок $BO$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Следовательно, треугольник $AOC$ является равнобедренным ($OA = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности). Угол $∠AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$. Величина этого угла в два раза больше величины вписанного угла $∠ABC$, опирающегося на ту же дугу. Обозначим $∠ABC = β$. Тогда $∠AOC = 2β$.

Аналогично, рассмотрим равнобедренный треугольник $BOC$ ($OB=OC=R$). Центральный угол $∠BOC$ опирается на дугу $BC$, поэтому его величина равна $2∠BAC = 2α$. В равнобедренном треугольнике $BOC$ углы при основании равны: $∠OBC = ∠OCB = (180° - ∠BOC) / 2 = (180° - 2α) / 2 = 90° - α$.

Пусть отрезки $BO$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $K$. Рассмотрим треугольник $BKC_1$. В нем нам известны два угла:

1. $∠KBC_1 = ∠OBC = 90° - α$.
2. $∠BC_1K = ∠BC_1A_1 = α$.

Найдем третий угол этого треугольника, $∠BKC_1$. По теореме о сумме углов треугольника: $∠BKC_1 = 180° - (∠KBC_1 + ∠BC_1K) = 180° - ((90° - α) + α) = 180° - 90° = 90°$.

Поскольку угол между отрезками $BO$ и $A_1C_1$ равен $90°$, эти отрезки перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.