Номер 17.1, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.1. Даны две точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Постройте треугольник, одна из сторон которого лежит на данной прямой, а центр описанной окружности и ортоцентр являются двумя данными точками.

17.1. Даны две точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Постройте треугольник, одна из сторон которого лежит на данной прямой, а центр описанной окружности и ортоцентр являются двумя данными точками.

Пусть дана прямая $l$, и точки $O$ и $H$ в одной полуплоскости относительно $l$. Требуется построить треугольник $ABC$, у которого сторона $BC$ лежит на прямой $l$, точка $O$ является центром описанной окружности, а точка $H$ — ортоцентром.

Для решения задачи воспользуемся известными свойствами ортоцентра и центра описанной окружности треугольника.

1. Свойство отражения ортоцентра. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно одной из его сторон, лежит на описанной окружности этого треугольника. В нашем случае сторона $BC$ лежит на прямой $l$. Если мы отразим ортоцентр $H$ относительно прямой $l$, то полученная точка (обозначим ее $H'$) должна лежать на описанной окружности треугольника $ABC$.

2. Описанная окружность. Центр описанной окружности — это точка $O$. Поскольку мы нашли точку $H'$, лежащую на этой окружности, мы можем определить ее радиус $R$. Радиус будет равен расстоянию от центра $O$ до точки $H'$ на окружности, то есть $R = |OH'|$.

3. Вершины треугольника. Все три вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ лежат на описанной окружности. Вершины $B$ и $C$ также лежат на прямой $l$. Следовательно, точки $B$ и $C$ — это точки пересечения описанной окружности с прямой $l$.

4. Высота треугольника. Ортоцентр $H$ является точкой пересечения высот треугольника. Высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, перпендикулярна стороне $BC$. Так как $BC$ лежит на прямой $l$, то высота из $A$ будет лежать на прямой, проходящей через $H$ и перпендикулярной $l$. Вершина $A$ должна лежать как на этой прямой (высоте), так и на описанной окружности.

На основе этого анализа можно составить план построения.

1. Построим точку $H'$, симметричную точке $H$ относительно прямой $l$. Для этого из точки $H$ опустим перпендикуляр на прямую $l$, и на его продолжении отложим отрезок, равный расстоянию от $H$ до $l$.
2. С центром в точке $O$ проведем окружность $\Omega$ радиусом $R = |OH'|$. Эта окружность является описанной для искомого треугольника $ABC$.
3. Найдем точки пересечения окружности $\Omega$ с прямой $l$. Эти точки и будут вершинами $B$ и $C$ треугольника. (Так как точки $O$ и $H$ лежат в одной полуплоскости, такое пересечение всегда существует и дает две различные точки).
4. Проведем прямую $h_A$ через точку $H$ перпендикулярно прямой $l$. Эта прямая содержит высоту, опущенную из вершины $A$.
5. Найдем точку пересечения прямой $h_A$ с окружностью $\Omega$. Одна из точек пересечения (та, что находится в той же полуплоскости, что и точки $O$ и $H$) и будет вершиной $A$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Одна из сторон ($BC$) лежит на данной прямой $l$ по построению (шаг 3).

2. Точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$, так как все три вершины $A, B, C$ лежат на окружности $\Omega$ с центром в точке $O$ по построению (шаги 2, 3, 5).

3. Точка $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$. Действительно, прямая $AH$ перпендикулярна прямой $l$, на которой лежит сторона $BC$ (шаг 4). Значит, $AH$ — высота треугольника. Кроме того, точка $H'$ (симметричная $H$ относительно стороны $BC$) лежит на описанной окружности по построению (шаг 2). Согласно свойству ортоцентра, если точка $H$ лежит на высоте из вершины $A$, и ее отражение относительно стороны $BC$ лежит на описанной окружности, то $H$ — ортоцентр треугольника.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Искомый треугольник строится путем нахождения его вершин. Сначала строится точка $H'$, симметричная ортоцентру $H$ относительно данной прямой $l$. Затем проводится описанная окружность с центром $O$ и радиусом $|OH'|$. Вершины $B$ и $C$ находятся как пересечение этой окружности с прямой $l$. Вершина $A$ находится как пересечение этой же окружности с прямой, проходящей через $H$ перпендикулярно $l$.