Номер 17.2, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.2. На плоскости заданы прямая $l$, которой принадлежат вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$, точка $O$, являющаяся центром описанной окружности, и точка $M$, являющаяся точкой пересечения медиан этого треугольника. Постройте треугольник $ABC$.

17.2. На плоскости заданы прямая $l$, которой принадлежат вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$, точка $O$, являющаяся центром описанной окружности, и точка $M$, являющаяся точкой пересечения медиан этого треугольника. Постройте треугольник $ABC$.

Для построения треугольника $ABC$ воспользуемся свойствами его центра описанной окружности $O$ и точки пересечения медиан $M$ (центроида).

Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$. Так как вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $l$, то и точка $A_1$ также лежит на этой прямой. Центр описанной окружности $O$ равноудалён от вершин $B$ и $C$ ($OB = OC$), а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$. Отсюда следует, что прямая $OA_1$ перпендикулярна прямой $l$. Это позволяет найти положение точки $A_1$ — это основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $l$.

Центроид $M$ лежит на медиане $AA_1$ и делит её в отношении $AM : MA_1 = 2:1$, считая от вершины $A$. Зная положение точек $M$ и $A_1$, мы можем построить вершину $A$. Она будет лежать на луче $A_1M$ на таком расстоянии от $M$, что $AM = 2 \cdot MA_1$.

После нахождения вершины $A$, мы можем определить радиус $R$ описанной окружности как расстояние $OA$. Вершины $B$ и $C$ являются точками пересечения этой окружности с центром в $O$ и радиусом $R$ с заданной прямой $l$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. Из точки $O$ опустить перпендикуляр на прямую $l$. Основание этого перпендикуляра обозначить как $A_1$.
2. Провести прямую через точки $A_1$ и $M$.
3. На луче $A_1M$ отложить от точки $M$ отрезок $MA$ так, чтобы его длина была в два раза больше длины отрезка $MA_1$ ($AM = 2 \cdot MA_1$). Точка $A$ является вершиной искомого треугольника.
4. Построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R=OA$.
5. Найти точки пересечения построенной окружности с прямой $l$. Это будут вершины $B$ и $C$.
6. Соединить точки $A$, $B$ и $C$ отрезками для получения искомого треугольника $ABC$.

Построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению его вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $l$; точка $O$ является центром его описанной окружности ($OA=OB=OC=R$); точка $M$ является его центроидом (лежит на медиане $AA_1$, поскольку $A_1$ — середина $BC$, и делит её в отношении $2:1$). Задача имеет решение, если окружность, построенная на шаге 4, пересекает прямую $l$. Это условие ($OA \ge OA_1$) всегда выполняется для невырожденного треугольника. Решение единственно с точностью до переименования вершин $B$ и $C$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится согласно приведённому выше алгоритму. Ключевые шаги: нахождение середины $A_1$ стороны $BC$ как проекции $O$ на $l$; нахождение вершины $A$ на продолжении отрезка $A_1M$ с учётом свойства медиан; нахождение вершин $B$ и $C$ как пересечения прямой $l$ и описанной окружности с центром $O$ и радиусом $OA$.