Номер 16.17, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.17. Чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$ параллельно прямым $AP$, $BP$ и $CP$ соответственно, конкурентны.

16.17. Чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямые, проходящие через середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$ параллельно прямым $AP$, $BP$ и $CP$ соответственно, конкурентны.

Для доказательства воспользуемся методом гомотетии (центрального подобия).

Пусть $M_a$, $M_b$, $M_c$ — середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Эти точки являются вершинами срединного треугольника $M_aM_bM_c$.

Пусть $G$ — центроид треугольника $ABC$ (точка пересечения его медиан). Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $G$ и коэффициентом $k = -1/2$.

Найдем образы вершин треугольника $ABC$ при этой гомотетии. Образом вершины $A$ будет точка $A'$, для которой выполняется векторное равенство $\vec{GA'} = -1/2 \cdot \vec{GA}$. Выразим это через радиус-векторы из произвольного начала координат $O$:$\vec{a'} - \vec{g} = -1/2 (\vec{a} - \vec{g})$, где $\vec{a}$, $\vec{a'}$, $\vec{g}$ — радиус-векторы точек $A$, $A'$, $G$.Отсюда $\vec{a'} = 3/2 \cdot \vec{g} - 1/2 \cdot \vec{a}$.

Поскольку $G$ — центроид, ее радиус-вектор равен $\vec{g} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})/3$. Подставим это в выражение для $\vec{a'}$:$\vec{a'} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.

Вектор $\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ является радиус-вектором точки $M_a$ — середины отрезка $BC$. Таким образом, образом вершины $A$ при гомотетии $H$ является точка $M_a$. Аналогично доказывается, что $H(B) = M_b$ и $H(C) = M_c$.

Теперь рассмотрим прямые, о которых говорится в условии задачи.

• Прямая $l_a$, проходящая через $M_a$ параллельно $AP$.
• Прямая $l_b$, проходящая через $M_b$ параллельно $BP$.
• Прямая $l_c$, проходящая через $M_c$ параллельно $CP$.

Одним из свойств гомотетии является то, что она переводит любую прямую в параллельную ей прямую. Значит, образ прямой $AP$ при гомотетии $H$ — это прямая, параллельная $AP$.

Кроме того, образ точки $A$ при гомотетии $H$ — это точка $M_a$. Так как точка $A$ лежит на прямой $AP$, ее образ $M_a$ должен лежать на образе прямой $AP$.

Следовательно, образ прямой $AP$ при гомотетии $H$ — это прямая, проходящая через точку $M_a$ и параллельная $AP$. По определению, это и есть прямая $l_a$. Итак, $l_a = H(AP)$.

Аналогично, $l_b = H(BP)$ и $l_c = H(CP)$.

По условию, чевианы $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в точке $P$. Это означает, что прямые $AP, BP, CP$ также пересекаются в точке $P$ (конкурентны).

Гомотетия сохраняет свойство конкурентности прямых: если несколько прямых пересекаются в одной точке, то их образы при гомотетии также пересекутся в одной точке, которая является образом исходной точки пересечения.

Поскольку прямые $AP, BP, CP$ конкурентны в точке $P$, то их образы — прямые $l_a, l_b, l_c$ — будут конкурентны в точке $Q = H(P)$.

Таким образом, доказано, что прямые, проходящие через середины сторон $BC, CA$ и $AB$ параллельно прямым $AP, BP$ и $CP$ соответственно, конкурентны.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые конкурентны.