Номер 16.12, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.12. На стороне AD и диагонали AC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки N и M так, что $AN = \frac{1}{5} AD$, $AM = \frac{1}{6} AC$.

Докажите, что точки N, M и B лежат на одной прямой.

16.12. На стороне $AD$ и диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $N$ и $M$ так, что $AN = \frac{1}{5}AD$, $AM = \frac{1}{6}AC$. Докажите, что точки $N$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки N, M и B лежат на одной прямой, воспользуемся методом векторов. Три точки являются коллинеарными (лежат на одной прямой), если векторы, построенные на этих точках, коллинеарны (параллельны или лежат на одной прямой). Мы докажем, что векторы $\vec{NM}$ и $\vec{NB}$ коллинеарны.

Введем в качестве базиса векторы, отложенные от вершины A параллелограмма ABCD: $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, так как они представляют смежные стороны параллелограмма.

Выразим векторы, определяющие положения точек M и N, через базисные векторы.

По условию, точка N лежит на стороне AD, и $AN = \frac{1}{5}AD$. Поскольку векторы $\vec{AN}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены, можем записать:

$\vec{AN} = \frac{1}{5}\vec{AD} = \frac{1}{5}\vec{b}$

По условию, точка M лежит на диагонали AC, и $AM = \frac{1}{6}AC$. В параллелограмме вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов смежных сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$. Тогда:

$\vec{AM} = \frac{1}{6}\vec{AC} = \frac{1}{6}(\vec{a} + \vec{b})$

Теперь найдем векторы $\vec{NM}$ и $\vec{NB}$, используя правило разности векторов (вектор из точки X в точку Y равен $\vec{XY} = \vec{AY} - \vec{AX}$, где A - начало координат).

Найдем вектор $\vec{NM}$:

$\vec{NM} = \vec{AM} - \vec{AN} = \frac{1}{6}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{5}\vec{b}$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$\vec{NM} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} - \frac{1}{5}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + (\frac{5}{30} - \frac{6}{30})\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} - \frac{1}{30}\vec{b}$

Теперь найдем вектор $\vec{NB}$:

$\vec{NB} = \vec{AB} - \vec{AN} = \vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}$

Для того чтобы доказать, что точки N, M и B лежат на одной прямой, необходимо показать, что векторы $\vec{NM}$ и $\vec{NB}$ коллинеарны. Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{NM} = k \cdot \vec{NB}$. Сравним полученные выражения для векторов.

Мы имеем $\vec{NM} = \frac{1}{6}\vec{a} - \frac{1}{30}\vec{b}$. Вынесем за скобки множитель $\frac{1}{6}$:

$\vec{NM} = \frac{1}{6}(\vec{a} - \frac{6}{30}\vec{b}) = \frac{1}{6}(\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b})$

Заметим, что выражение в скобках $(\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b})$ в точности равно вектору $\vec{NB}$. Таким образом, мы получаем:

$\vec{NM} = \frac{1}{6}\vec{NB}$

Так как вектор $\vec{NM}$ равен вектору $\vec{NB}$, умноженному на скаляр $\frac{1}{6}$, то векторы $\vec{NM}$ и $\vec{NB}$ коллинеарны. Поскольку эти векторы имеют общую начальную точку N, точки N, M и B лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: точки N, M и B лежат на одной прямой.