Номер 16.7, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.7. Биссектрисы внешних углов при вершинах $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают прямые $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что эти точки коллинеарны.

16.7. Биссектрисы внешних углов при вершинах $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают прямые $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что эти точки коллинеарны.

Для доказательства коллинеарности точек $A_1$, $B_1$ и $C_1$ воспользуемся теоремой, обратной к теореме Менелая, для треугольника $ABC$ и точек $A_1, B_1, C_1$, лежащих на прямых, содержащих его стороны ($A_1 \in BC, B_1 \in AC, C_1 \in AB$). Согласно этой теореме, точки будут коллинеарны, если выполняется равенство (для длин отрезков):

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

Найдем каждое из этих отношений, используя свойство биссектрисы внешнего угла треугольника. Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$.

1. По условию, точка $A_1$ является точкой пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $A$ с прямой $BC$. По свойству биссектрисы внешнего угла, она делит противолежащую сторону (внешним образом) в отношении, равном отношению прилежащих сторон:

$$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $$

2. Аналогично, $B_1$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $B$ с прямой $AC$. Следовательно:

$$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $$

3. И, наконец, $C_1$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $C$ с прямой $AB$. Таким образом:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} $$

Теперь подставим найденные отношения в левую часть выражения для теоремы Менелая:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} $$

Произведя умножение и сокращение дробей, получаем:

$$ \frac{b \cdot c \cdot a}{a \cdot b \cdot c} = 1 $$

Так как условие обратной теоремы Менелая выполняется, то точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны.

Ответ: Что и требовалось доказать.