Номер 16.1, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.1. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $C_1$ и $A_1$, так, что $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{2}$, $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{3}{4}$. Отрезки $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $F$. В каком отношении точка $F$ делит каждый из отрезков $AA_1$ и $CC_1$?

16.1. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $C_1$ и $A_1$ так, что $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{2}$, $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{3}{4}$. Отрезки $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $F$. В каком отношении точка $F$ делит каждый из отрезков $AA_1$ и $CC_1$?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая. Для треугольника и пересекающей его прямой (секущей) произведение трёх отношений отрезков, на которые секущая делит стороны треугольника (или их продолжения), равно единице.

Рассмотрим треугольник $ABA_1$ и секущую $C_1FC$. Прямая $C_1FC$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_1$, сторону $AA_1$ в точке $F$ и продолжение стороны $BA_1$ (то есть прямую $BC$) в точке $C$. По теореме Менелая:

$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BC}{CA_1} \cdot \frac{A_1F}{FA} = 1$

Из условия задачи известно, что $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{2}$.

Также дано, что $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{3}{4}$. Отсюда можно найти отношение $\frac{BC}{CA_1}$. Пусть $BA_1 = 3k$ и $A_1C = 4k$, тогда $BC = BA_1 + A_1C = 3k + 4k = 7k$. Следовательно, $\frac{BC}{CA_1} = \frac{7k}{4k} = \frac{7}{4}$.

Подставим найденные значения в уравнение Менелая:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{A_1F}{FA} = 1$

$\frac{7}{8} \cdot \frac{A_1F}{FA} = 1$

Из этого следует, что $\frac{A_1F}{FA} = \frac{8}{7}$.

Таким образом, искомое отношение $\frac{AF}{FA_1} = \frac{7}{8}$.

Ответ: Точка F делит отрезок $AA_1$ в отношении $7:8$, считая от вершины A.

Теперь рассмотрим треугольник $C_1BC$ и секущую $AFA_1$. Прямая $AFA_1$ пересекает сторону $BC$ в точке $A_1$, сторону $CC_1$ в точке $F$ и продолжение стороны $BC_1$ (то есть прямую $AB$) в точке $A$. По теореме Менелая:

$\frac{BA}{AC_1} \cdot \frac{C_1F}{FC} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} = 1$

Из условия $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{3}{4}$, получаем, что $\frac{CA_1}{A_1B} = \frac{4}{3}$.

Из условия $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{2}$. Пусть $AC_1 = m$ и $C_1B = 2m$, тогда $AB = AC_1 + C_1B = m + 2m = 3m$. Следовательно, $\frac{BA}{AC_1} = \frac{3m}{m} = 3$.

Подставим найденные значения в уравнение Менелая:

$3 \cdot \frac{C_1F}{FC} \cdot \frac{4}{3} = 1$

$4 \cdot \frac{C_1F}{FC} = 1$

Из этого следует, что $\frac{C_1F}{FC} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, искомое отношение $\frac{CF}{FC_1} = \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: Точка F делит отрезок $CC_1$ в отношении $4:1$, считая от вершины C.