Номер 16.5, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.5. На сторонах $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно отметили точки $A_1$ и $B_1$ так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и медиана $CD$ треугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что $A_1B_1 \parallel AB$.

16.5. На сторонах $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно отметили точки $A_1$ и $B_1$ так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и медиана $CD$ треугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что $A_1B_1 \parallel AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, на сторонах $BC$ и $AC$ выбраны точки $A_1$ и $B_1$ соответственно так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и медиана $CD$ пересекаются в одной точке.

Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CD$ являются чевианами треугольника $ABC$ (отрезками, соединяющими вершины с точками на противолежащих сторонах). Поскольку по условию эти три чевианы пересекаются в одной точке, к ним применима теорема Чевы.

Теорема Чевы утверждает, что произведение отношений, в которых точки $D$, $A_1$, $B_1$ делят стороны $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно, равно единице:

Из условия задачи известно, что $CD$ — медиана. Это означает, что точка $D$ является серединой стороны $AB$, и, следовательно, длины отрезков $AD$ и $DB$ равны: $AD = DB$.

Тогда отношение $\frac{AD}{DB} = 1$. Подставим это значение в уравнение теоремы Чевы:

Отсюда получаем равенство:

Преобразуем это выражение, чтобы сопоставить отношения отрезков на сторонах $BC$ и $AC$:

Данное равенство означает, что точки $A_1$ и $B_1$ делят стороны $BC$ и $AC$ в одинаковом отношении, если считать от общей вершины $C$. То есть, $ \frac{CA_1}{A_1B} = \frac{CB_1}{B_1A} $.

Теперь воспользуемся теоремой, обратной теореме Фалеса (теоремой о пропорциональных отрезках). Она гласит, что если прямая, пересекающая две стороны треугольника, делит их на пропорциональные отрезки, то эта прямая параллельна третьей стороне.

Поскольку мы доказали, что прямая $A_1B_1$ делит стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ пропорционально, мы можем сделать вывод, что прямая $A_1B_1$ параллельна стороне $AB$.

Таким образом, $A_1B_1 \parallel AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.