Номер 15.51, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.51. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точке $D$. Докажите, что $AB + AC < 2AD$.

15.51. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D. Докажите, что $AB + AC < 2AD$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и описанную около него окружность. Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$, где точка $D$ лежит на окружности.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, то по определению $\angle BAD = \angle CAD$.

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. И наоборот, равные вписанные углы опираются на равные дуги. Так как углы $\angle BAD$ и $\angle CAD$ являются вписанными и равными, то дуги, на которые они опираются, также равны: дуга $BD$ равна дуге $CD$. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, $BD = CD$.

Четырехугольник $ABDC$ вписан в окружность. По теореме Птолемея для вписанного четырехугольника, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей:

$AB \cdot CD + AC \cdot BD = AD \cdot BC$

Так как мы доказали, что $BD = CD$, заменим $BD$ на $CD$ в уравнении Птолемея:

$AB \cdot CD + AC \cdot CD = AD \cdot BC$

Вынесем общий множитель $CD$ за скобки:

$CD \cdot (AB + AC) = AD \cdot BC$

Из этого равенства выразим сумму $AB + AC$:

$AB + AC = AD \cdot \frac{BC}{CD}$

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны:

$BD + CD > BC$

Снова используя равенство $BD = CD$, получаем:

$CD + CD > BC$

$2CD > BC$

Так как $CD$ является длиной отрезка, то $CD > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $CD$, не меняя знака неравенства:

$2 > \frac{BC}{CD}$

Теперь вернемся к выражению для $AB + AC$ и используем полученное неравенство:

$AB + AC = AD \cdot \frac{BC}{CD}$

Поскольку $\frac{BC}{CD} < 2$, то:

$AB + AC < AD \cdot 2$

Таким образом, мы доказали, что $AB + AC < 2AD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.