Номер 15.44, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.44. В угол вписаны две окружности. Точки $A$ и $B$ — точки касания первой окружности со сторонами угла, точки $A_1$ и $B_1$ — точки касания второй окружности со сторонами угла (рис. 15.18). Отрезок $AB_1$ пересекает эти окружности в точках $C$ и $C_1$. Докажите, что $AC = B_1C_1$.

Рис. 15.18

15.44. В угол вписаны две окружности. Точки $A$ и $B$ — точки касания первой окружности со сторонами угла, точки $A_1$ и $B_1$ — точки касания второй окружности со сторонами угла (рис. 15.18). Отрезок $AB_1$ пересекает эти окружности в точках $C$ и $C_1$. Докажите, что $AC = B_1C_1$.

Рис. 15.18

Пусть $O$ — вершина угла, в который вписаны две окружности. Обозначим первую окружность (меньшую) как $\omega_1$, а вторую (большую) как $\omega_2$. Пусть $r$ и $R$ — их радиусы соответственно.

Пусть стороны угла касаются окружности $\omega_1$ в точках $A$ и $B$, а окружности $\omega_2$ — в точках $A_1$ и $B_1$. Согласно условию и рисунку, точки $A$ и $A_1$ лежат на одной стороне угла, а точки $B$ и $B_1$ — на другой.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от вершины угла до точек касания равны: $OA = OB$ и $OA_1 = OB_1$. Обозначим эти длины $d=OA$ и $d_1=OB_1$ (так как $OA_1 = OB_1$, хотя в условии задан отрезок $AB_1$, мы будем использовать $OB_1$ для удобства).

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB_1$. Пусть $\angle OAB_1 = \beta$ и $\angle OB_1A = \gamma$.

Прямая $OA$ является касательной к окружности $\omega_1$ в точке $A$. Отрезок $AC$ является хордой этой окружности, лежащей на секущей $AB_1$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол $\beta$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AC$. Длина хорды $AC$ в окружности $\omega_1$ выражается через ее радиус $r$ и угол $\beta$ следующим образом:$AC = 2r \sin\beta$.

Аналогично, прямая $OB_1$ является касательной к окружности $\omega_2$ в точке $B_1$. Отрезок $B_1C_1$ является хордой этой окружности, лежащей на секущей $AB_1$. По той же теореме, угол $\gamma$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $B_1C_1$. Длина хорды $B_1C_1$ в окружности $\omega_2$ выражается через ее радиус $R$ и угол $\gamma$:$B_1C_1 = 2R \sin\gamma$.

Таким образом, чтобы доказать равенство $AC = B_1C_1$, нам необходимо доказать, что $2r \sin\beta = 2R \sin\gamma$, или $r \sin\beta = R \sin\gamma$.

Применим теорему синусов к треугольнику $\triangle OAB_1$. Его стороны равны $OA=d$ и $OB_1=d_1$, а углы, противолежащие этим сторонам, равны $\gamma$ и $\beta$ соответственно.$\frac{OA}{\sin(\angle OB_1A)} = \frac{OB_1}{\sin(\angle OAB_1)}$$\frac{d}{\sin\gamma} = \frac{d_1}{\sin\beta}$Отсюда следует соотношение: $d \sin\beta = d_1 \sin\gamma$.

Теперь установим связь между радиусами окружностей ($r$, $R$) и длинами отрезков от вершины угла до точек касания ($d$, $d_1$). Пусть величина угла, в который вписаны окружности, равна $2\alpha$. Тогда биссектриса этого угла проходит через центры окружностей $O'$ и $O''$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAO'$, где $O'$ — центр окружности $\omega_1$. Угол $\angle AOO'$ равен $\alpha$. Катеты этого треугольника — $OA = d$ и $O'A = r$. Из определения тангенса угла:$\tan\alpha = \frac{r}{d} \implies r = d \tan\alpha$.

Аналогично, для окружности $\omega_2$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OB_1O''$. Угол $\angle B_1OO''$ также равен $\alpha$. Катеты — $OB_1 = d_1$ и $O''B_1 = R$.$\tan\alpha = \frac{R}{d_1} \implies R = d_1 \tan\alpha$.

Теперь подставим выражения для $r$ и $R$ в равенство, которое мы хотим доказать ($r \sin\beta = R \sin\gamma$):$(d \tan\alpha) \sin\beta = (d_1 \tan\alpha) \sin\gamma$.

Поскольку угол $2\alpha$ не является нулевым или развернутым, $\tan\alpha \neq 0$, и мы можем сократить обе части уравнения на $\tan\alpha$:$d \sin\beta = d_1 \sin\gamma$.

Это равенство в точности совпадает с тем, что мы получили из теоремы синусов для треугольника $\triangle OAB_1$. Следовательно, исходное предположение $r \sin\beta = R \sin\gamma$ верно, а значит, верно и равенство $AC = B_1C_1$.

Доказательство:
Пусть $O$ — вершина угла, $2\alpha$ — его величина.
1. Из теоремы об угле между касательной и хордой, длина хорды $AC$ в первой окружности радиуса $r$ равна $AC = 2r \sin(\angle OAB_1)$, а длина хорды $B_1C_1$ во второй окружности радиуса $R$ равна $B_1C_1 = 2R \sin(\angle OB_1A)$.
2. По теореме синусов для $\triangle OAB_1$: $\frac{OA}{\sin(\angle OB_1A)} = \frac{OB_1}{\sin(\angle OAB_1)}$, откуда $OA \cdot \sin(\angle OAB_1) = OB_1 \cdot \sin(\angle OB_1A)$.
3. В прямоугольных треугольниках, образованных радиусами в точки касания, стороной угла и биссектрисой, имеем: $r = OA \cdot \tan\alpha$ и $R = OB_1 \cdot \tan\alpha$.
4. Подставляя выражения для $r$ и $R$ в формулы для длин хорд, получаем:$AC = 2(OA \cdot \tan\alpha) \sin(\angle OAB_1) = 2 \tan\alpha \cdot (OA \sin(\angle OAB_1))$$B_1C_1 = 2(OB_1 \cdot \tan\alpha) \sin(\angle OB_1A) = 2 \tan\alpha \cdot (OB_1 \sin(\angle OB_1A))$
5. Так как из пункта 2 следует, что выражения в скобках равны ($OA \sin(\angle OAB_1) = OB_1 \sin(\angle OB_1A)$), то и левые части равенств равны: $AC = B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $AC = B_1C_1$ доказано.