Номер 15.39, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.39. Продолжение медианы $AM$ треугольника $ABC$ пересекает его описанную окружность в точке $D$. Известно, что $AC = DC = 1$ см. Найдите сторону $BC$.

15.39. Продолжение медианы $AM$ треугольника $ABC$ пересекает его описанную окружность в точке $D$. Известно, что $AC = DC = 1$ см.

Найдите сторону $BC$.

Пусть $A, B, C$ - вершины треугольника, $O$ - центр его описанной окружности. $AM$ - медиана, проведенная к стороне $BC$, следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $BC$, то есть $BM = MC$. Продолжение медианы $AM$ пересекает описанную окружность в точке $D$. Таким образом, точки $A, B, C, D$ лежат на одной окружности, а хорды $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$.

1. $MC = MB$, так как $AM$ - медиана.
2. $\angle AMC = \angle DMB$ как вертикальные углы.
3. Углы $\angle BCA$ и $\angle BDA$ (или $\angle MCA$ и $\angle MDB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AB$. Следовательно, $\angle MCA = \angle MDB$.

Из этого следует, что треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$ подобны по двум углам. Так как у них есть пара соответственно равных сторон ($MC=MB$), прилежащих к равным углам $\angle AMC$ и $\angle DMB$, и противолежащих равным углам $\angle MAC$ и $\angle MBD$, то мы можем сравнить их по теореме синусов или заключить о равенстве из подобия.Коэффициент подобия $k = \frac{MC}{MB} = 1$. Следовательно, треугольники равны: $\triangle AMC \cong \triangle DMB$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AC = DB$ и $AM = DM$.

По условию задачи известно, что $AC = 1$ см и $DC = 1$ см.Так как $AC = DB$ и $AC = 1$ см, то $DB = 1$ см.Теперь мы знаем, что в треугольнике $DBC$ стороны $DC = 1$ см и $DB = 1$ см. Следовательно, треугольник $DBC$ является равнобедренным с основанием $BC$, а углы при основании равны: $\angle DBC = \angle DCB$.

В описанной окружности равные хорды стягивают равные дуги. Так как $AC = DC = 1$ см, то и дуги, на которые они опираются, равны: $\cup AC = \cup DC$.Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны между собой. Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$, а угол $\angle DBC$ — на дугу $DC$. Следовательно, $\angle ABC = \angle DBC$.

Объединим полученные равенства углов: $\angle ABC = \angle DBC = \angle DCB$.Отсюда следует, что $\angle ABC = \angle DCB$.Вписанный четырехугольник, в котором точки расположены в порядке $A, B, D, C$ (так как хорды $AD$ и $BC$ пересекаются), обладает свойством: если $\angle ABC = \angle DCB$, то дуги, на которые они опираются, равны. Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $ADC$, а угол $\angle DCB$ — на дугу $DAB$.Значит, $\cup ADC = \cup DAB$.$\cup AD + \cup DC = \cup DA + \cup AB$.Вычитая из обеих частей равенства дугу $AD$, получаем $\cup DC = \cup AB$.Равенство дуг влечет за собой равенство стягивающих их хорд: $DC = AB$.Поскольку $DC = 1$ см, то и $AB = 1$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Мы установили, что $AB=1$ см, и по условию $AC=1$ см. Значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$, и $\triangle AMC$ — прямоугольный.

Применим теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд. Хорды $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$.$AM \cdot MD = BM \cdot MC$.Ранее мы доказали, что $AM = MD$. Также, поскольку $M$ - середина $BC$, $BM = MC$.Обозначим длину стороны $BC$ через $x$. Тогда $BM = MC = \frac{x}{2}$.Подставим известные соотношения в уравнение:$AM \cdot AM = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$$AM^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2$$AM = \frac{x}{2}$.

Наконец, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $AMC$:$AM^2 + MC^2 = AC^2$.Подставим найденные выражения для $AM$ и $MC$ и данное значение $AC$:$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 1^2$$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$$2 \cdot \frac{x^2}{4} = 1$$\frac{x^2}{2} = 1$$x^2 = 2$$x = \sqrt{2}$.

Таким образом, длина стороны $BC$ равна $\sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.