Номер 15.32, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.32. В окружности, радиус которой равен $8$ см, проведена хорда $AB$.

На прямой $AB$ вне отрезка $AB$ отметили точку $C$ такую, что $AC : BC = 1 : 4$. Найдите расстояние от точки $C$ до центра окружности, если $AB = 9$ см.

15.32. В окружности, радиус которой равен 8 см, проведена хорда $AB$.

На прямой $AB$ вне отрезка $AB$ отметили точку $C$ такую, что

$AC : BC = 1 : 4$. Найдите расстояние от точки $C$ до центра окружности, если $AB = 9$ см.

Пусть O — центр окружности. По условию, точка C лежит на прямой AB вне отрезка AB. Это означает, что возможны два варианта расположения точек на прямой: 1) точка A лежит между C и B (порядок C-A-B); 2) точка B лежит между A и C (порядок A-B-C).

Рассмотрим оба случая, используя данные: $AB = 9$ см и соотношение $AC : BC = 1 : 4$, из которого следует, что $BC = 4 \cdot AC$.

Случай 1: Точки расположены в порядке C, A, B.

В этом случае длина отрезка BC равна сумме длин отрезков AC и AB: $BC = AC + AB$.

Подставим известные значения: $4 \cdot AC = AC + 9$.

Решим уравнение: $3 \cdot AC = 9$, откуда $AC = 3$ см.

Тогда $BC = 4 \cdot 3 = 12$ см. Проверка: $AB = BC - AC = 12 - 3 = 9$ см. Это соответствует условию, следовательно, данный случай возможен.

Случай 2: Точки расположены в порядке A, B, C.

В этом случае длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC: $AC = AB + BC$.

Подставим известные значения: $AC = 9 + 4 \cdot AC$.

Решим уравнение: $-3 \cdot AC = 9$, откуда $AC = -3$ см.

Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, точки на прямой расположены в порядке C, A, B, и длина отрезка $AC = 3$ см.

Теперь найдем искомое расстояние OC. Проведем из центра O перпендикуляр OM к хорде AB. В равнобедренном треугольнике OAB (где $OA = OB = R = 8$ см — радиусы), высота OM является также и медианой. Следовательно, точка M — середина хорды AB.

Найдем длину отрезка AM:

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA (угол $\angle OMA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину катета OM:

$OM^2 + AM^2 = OA^2$

$OM^2 = OA^2 - AM^2 = 8^2 - (4.5)^2 = 64 - 20.25 = 43.75$.

Так как точки расположены в порядке C, A, B, а M — середина AB, то их порядок на прямой: C, A, M, B. Найдем длину отрезка CM:

$CM = CA + AM = 3 + 4.5 = 7.5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMC (угол $\angle OMC = 90^\circ$, так как OM перпендикулярен всей прямой AB). По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы OC, которая и является искомым расстоянием:

$OC^2 = OM^2 + CM^2$

$OC^2 = 43.75 + (7.5)^2 = 43.75 + 56.25 = 100$

$OC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.