Номер 15.25, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.25. На хорде AB отметили точку M. Докажите, что $MA \cdot MB = R^2 - d^2$, где $R$ — радиус окружности, $d$ — расстояние от точки $M$ до центра окружности.

15.25. На хорде AB отметили точку M. Докажите, что $MA \cdot MB = R^2 - d^2$, где $R$ — радиус окружности, $d$ — расстояние от точки $M$ до центра окружности.

15.25. На хорде AB отметили точку M. Докажите, что $MA \cdot MB = R^2 - d^2$, где $R$ — радиус окружности, $d$ — расстояние от точки M до центра окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. По условию, $AB$ — хорда, $M$ — точка на хорде, и расстояние от точки $M$ до центра $O$ равно $d$, то есть $OM = d$.

Для доказательства равенства $MA \cdot MB = R^2 - d^2$ выполним дополнительное построение. Проведём из центра $O$ перпендикуляр $OH$ к хорде $AB$. Точка $H$ является основанием этого перпендикуляра и лежит на отрезке $AB$.

По свойству перпендикуляра, проведённого из центра окружности к хорде, он делит эту хорду пополам. Следовательно, $AH = HB$.

Теперь выразим произведение длин отрезков $MA$ и $MB$. Точка $M$ может лежать на отрезке $AH$ или на отрезке $HB$.
1. Если $M$ лежит между $A$ и $H$, то $MA = AH - MH$ и $MB = HB + MH = AH + MH$.
2. Если $M$ лежит между $H$ и $B$, то $MA = AH + MH$ и $MB = HB - MH = AH - MH$.
В обоих случаях произведение будет равно:
$MA \cdot MB = (AH + MH)(AH - MH) = AH^2 - MH^2$.
(Если точка $M$ совпадает с $H$, то $MH=0$ и $MA \cdot MB = AH \cdot HB = AH^2$, что также удовлетворяет полученной формуле).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образовались в результате нашего построения: $\triangle OHA$ и $\triangle OMH$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OHA$ (угол $H$ прямой) по теореме Пифагора: $OA^2 = OH^2 + AH^2$. Поскольку $OA$ — это радиус $R$, получаем $R^2 = OH^2 + AH^2$, откуда можно выразить $AH^2 = R^2 - OH^2$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OMH$ (угол $H$ прямой) по теореме Пифагора: $OM^2 = OH^2 + MH^2$. Поскольку $OM$ — это расстояние $d$, получаем $d^2 = OH^2 + MH^2$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для произведения $MA \cdot MB$:
$MA \cdot MB = AH^2 - MH^2 = (R^2 - OH^2) - MH^2 = R^2 - (OH^2 + MH^2)$.

Заменяя сумму $(OH^2 + MH^2)$ на $d^2$, получаем окончательное равенство:
$MA \cdot MB = R^2 - d^2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MA \cdot MB = R^2 - d^2$ доказано.