Номер 15.29, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.29. Через точку $A$, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке $B$, а другая пересекает окружность в точках $C$ и $D$ (точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$), $AB = 18$ см, $AC : CD = 4 : 5$. Найдите отрезок $AD$.

15.29. Через точку $A$, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке $B$, а другая пересекает окружность в точках $C$ и $D$ (точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$), $AB = 18$ см, $AC : CD = 4 : 5$. Найдите отрезок $AD$.

Для решения данной задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Эта теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от той же внешней точки до точек пересечения с окружностью.

Пусть AB — касательная, а AD — секущая. Тогда по теореме имеем:
$AB^2 = AC \cdot AD$

Из условия задачи известно, что $AB = 18$ см и $AC : CD = 4 : 5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно выразить длины отрезков:
$AC = 4x$
$CD = 5x$

Поскольку точка C лежит между точками A и D, длина всего отрезка AD равна сумме длин его частей AC и CD:
$AD = AC + CD = 4x + 5x = 9x$

Теперь подставим известные значения и выражения в формулу теоремы:
$18^2 = (4x) \cdot (9x)$
$324 = 36x^2$

Найдем $x^2$:
$x^2 = \frac{324}{36}$
$x^2 = 9$

Так как длина отрезка — величина положительная, $x$ также должен быть положительным:
$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь мы можем найти длину отрезка AD:
$AD = 9x = 9 \cdot 3 = 27$ см.

Ответ: 27 см.