Номер 15.18, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.18. Объясните с помощью рисунка 15.14, как можно найти ширину $BM$ реки, используя подобие треугольников.

Для определения ширины реки $BM$ с помощью подобия треугольников, можно использовать следующий метод:

1. На одном берегу реки, где находится точка $M$, выбирают точку $A$ и точку $K$ таким образом, чтобы точки $M, A, K$ лежали на одной прямой, образующей линию берега. Точка $B$ находится на противоположном берегу, и отрезок $BM$ является искомой шириной реки, перпендикулярной берегу, то есть $\angle BMA = 90^\circ$.

2. Через точку $A$ и точку $B$ проводят прямую, которая пересекает линию берега в некоторой точке $C$. Из точки $C$ опускают перпендикуляр $CK$ на линию берега $MAK$. Таким образом, $\angle CKA = 90^\circ$.

3. В результате такой конструкции образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle BMA$ и $\triangle CKA$.

4. Эти два треугольника подобны по первому признаку подобия (по двум углам):

Во-первых, углы $\angle BMA$ и $\angle CKA$ равны $90^\circ$ (они оба прямые по построению).

Во-вторых, углы $\angle BAM$ и $\angle CAK$ являются вертикальными углами, образованными пересечением прямых $BC$ и $MK$. Следовательно, они равны.

5. Из подобия треугольников $\triangle BMA \sim \triangle CKA$ следует равенство отношений их соответствующих сторон:

$\frac{BM}{CK} = \frac{MA}{KA}$

6. Из этого соотношения можно выразить искомую ширину реки $BM$:

$BM = CK \cdot \frac{MA}{KA}$

7. Таким образом, для нахождения ширины реки $BM$ необходимо измерить длины отрезков $CK$ (доступная высота), $MA$ и $KA$ (доступные расстояния по берегу).

Рис. 15.14

15.18. Объясните с помощью рисунка 15.14, как можно найти ширину $BM$ реки, используя подобие треугольников.

Рис. 15.14

Для того чтобы найти ширину реки $BM$ с помощью подобия треугольников, необходимо рассмотреть треугольники $△ABC$ и $△AMK$, изображенные на рисунке.

1. Доказательство подобия треугольников.

Рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△AMK$. У них:

• $∠A$ — общий угол.

• $∠BCA = ∠AKM$ — по условию, указанному на рисунке одинаковыми дугами.

Следовательно, треугольники $△ABC$ и $△AMK$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Запишем это как $△ABC \sim △AMK$.

2. Составление пропорции и вывод формулы.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AK} = \frac{BC}{MK}$

Для решения нашей задачи воспользуемся первой частью пропорции: $\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AK}$.

Из рисунка видно, что точки $B$, $M$ и $A$ лежат на одной прямой, поэтому длину отрезка $AB$ можно представить в виде суммы длин отрезков $BM$ и $AM$: $AB = BM + AM$.

Подставим это выражение в нашу пропорцию:

$\frac{BM + AM}{AM} = \frac{AC}{AK}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую величину $BM$. Для этого разделим почленно левую часть уравнения:

$\frac{BM}{AM} + \frac{AM}{AM} = \frac{AC}{AK}$

$\frac{BM}{AM} + 1 = \frac{AC}{AK}$

Перенесем 1 в правую часть:

$\frac{BM}{AM} = \frac{AC}{AK} - 1$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{BM}{AM} = \frac{AC - AK}{AK}$

И наконец, найдем $BM$:

$BM = AM \cdot \frac{AC - AK}{AK}$

3. Практическое применение.

На местности необходимо выбрать ориентир $B$ на противоположном берегу. На своем берегу выбрать точки $M$ и $A$ на одной прямой с точкой $B$. Затем от точки $A$ отложить прямую и на ней отметить точки $K$ и $C$ таким образом, чтобы выполнялось условие равенства углов $∠BCA = ∠AKM$ (например, этого можно добиться, если отрезок $MK$ будет параллелен отрезку $BC$). После этого нужно измерить длины отрезков $AM$, $AK$ и $AC$, которые находятся в пределах досягаемости. Подставив эти значения в выведенную формулу, можно вычислить ширину реки $BM$.

Ответ: Ширину реки $BM$ можно найти, измерив на доступном берегу длины отрезков $AM$, $AK$ и $AC$, а затем вычислив искомое расстояние по формуле $BM = AM \cdot \frac{AC - AK}{AK}$.