Номер 15.16, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.16. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ такую, что $\angle ABD = \angle ACB$. Известно, что $AB = 20$ см, $BC = 28$ см, $AC = 40$ см. Найдите неизвестные стороны треугольника $ABD$.

15.16. На стороне AC треугольника ABC отметили точку D такую, что $\angle ABD = \angle ACB$. Известно, что $AB = 20$ см, $BC = 28$ см, $AC = 40$ см. Найдите неизвестные стороны треугольника ABD.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$.

1. Угол $A$ ($\angle BAC$) является общим для обоих треугольников.

2. По условию задачи, $\angle ABD = \angle ACB$.

Следовательно, треугольник $ABD$ подобен треугольнику $ACB$ по двум углам (первый признак подобия треугольников). Из подобия $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ следует пропорциональность их соответственных сторон. Вершины в записи подобия соответствуют равным углам, поэтому соотношение сторон будет следующим:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CB} = \frac{AD}{AB}$

Подставим известные значения длин сторон: $AB = 20$ см, $BC = 28$ см, $AC = 40$ см.

$\frac{20}{40} = \frac{BD}{28} = \frac{AD}{20}$

Из этой пропорции найдем неизвестные стороны треугольника $ABD$, то есть $AD$ и $BD$.

Сначала найдем сторону $AD$, используя первую и третью части пропорции:

$\frac{20}{40} = \frac{AD}{20}$

$\frac{1}{2} = \frac{AD}{20}$

$AD = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь найдем сторону $BD$, используя первую и вторую части пропорции:

$\frac{20}{40} = \frac{BD}{28}$

$\frac{1}{2} = \frac{BD}{28}$

$BD = \frac{28}{2} = 14$ см.

Таким образом, неизвестные стороны треугольника $ABD$ найдены.

Ответ: $AD = 10$ см, $BD = 14$ см.