Номер 15.10, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.10. Можно ли утверждать, что два равнобедренных треугольника подобны, если у них есть:

1) по равному острому углу;

2) по прямому углу;

3) по равному тупому углу?

15.10. Можно ли утверждать, что два равнобедренных треугольника подобны, если у них есть:

1) по равному острому углу;

2) по прямому углу;

3) по равному тупому углу?

Для того чтобы два треугольника были подобны, достаточно, чтобы два угла одного треугольника были соответственно равны двум углам другого треугольника (первый признак подобия треугольников). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

1) по равному острому углу

Нет, не всегда. Пусть у двух равнобедренных треугольников есть равный острый угол $\alpha$. Этот угол может быть как углом при вершине, так и углом при основании.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: В первом треугольнике угол $\alpha$ — это угол при вершине. Тогда углы при основании равны $(180^\circ - \alpha) / 2$. Углы треугольника: $\alpha$, $(180^\circ - \alpha) / 2$, $(180^\circ - \alpha) / 2$.

Случай 2: Во втором треугольнике угол $\alpha$ — это угол при основании. Тогда второй угол при основании также равен $\alpha$, а угол при вершине равен $180^\circ - 2\alpha$. Углы треугольника: $\alpha$, $\alpha$, $180^\circ - 2\alpha$.

Чтобы эти треугольники были подобны, наборы их углов должны совпадать. Однако, в общем случае, это не так.

Приведем контрпример. Пусть равный острый угол равен $40^\circ$.

• Пусть у первого равнобедренного треугольника угол при вершине равен $40^\circ$. Тогда его углы при основании равны $(180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.
• Пусть у второго равнобедренного треугольника угол при основании равен $40^\circ$. Тогда другой угол при основании тоже $40^\circ$, а угол при вершине равен $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.

Наборы углов $\{40^\circ, 70^\circ, 70^\circ\}$ и $\{40^\circ, 40^\circ, 100^\circ\}$ не совпадают, следовательно, такие треугольники не подобны. Исключением является случай, когда угол равен $60^\circ$, тогда оба треугольника равносторонние и, следовательно, подобны.

Ответ: Нет, нельзя утверждать.

2) по прямому углу

Да, можно. В треугольнике может быть только один прямой угол ($90^\circ$). В равнобедренном треугольнике два угла (при основании) равны. Если бы прямой угол был при основании, то второй угол при основании тоже был бы равен $90^\circ$. Сумма этих двух углов уже составляет $180^\circ$, что невозможно для треугольника.

Следовательно, прямой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине, противолежащей основанию.

Если угол при вершине равен $90^\circ$, то углы при основании равны:

$(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Таким образом, любой равнобедренный треугольник, имеющий прямой угол, является прямоугольным равнобедренным треугольником с углами $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Поскольку у любых двух таких треугольников все три угла соответственно равны, они подобны по первому признаку подобия.

Ответ: Да, можно утверждать.

3) по равному тупому углу

Да, можно. Тупой угол — это угол, больший $90^\circ$. В треугольнике может быть только один тупой угол. В равнобедренном треугольнике, как и в случае с прямым углом, тупой угол не может быть углом при основании (так как сумма двух тупых углов будет больше $180^\circ$).

Следовательно, равный тупой угол $\gamma$ в обоих треугольниках должен быть углом при вершине.

Тогда в каждом из этих треугольников углы при основании будут равны:

$(180^\circ - \gamma) / 2$.

У обоих треугольников будет одинаковый набор углов: $\gamma$, $(180^\circ - \gamma) / 2$, $(180^\circ - \gamma) / 2$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия.

Ответ: Да, можно утверждать.