Номер 15.17, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.17. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший катет — 16 см. Найдите отрезки, на которые серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет.

15.17. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший катет — 16 см. Найдите отрезки, на которые серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$).

По условию, гипотенуза $c = AB = 20$ см, а больший катет равен 16 см. Пусть большим катетом будет $b = AC = 16$ см.

Найдем длину меньшего катета $a = BC$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$a^2 = c^2 - b^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$

$a = BC = \sqrt{144} = 12$ см.

Поскольку $16 > 12$, катет $AC$ действительно является большим.

Серединный перпендикуляр к гипотенузе $AB$ — это прямая, проходящая через середину гипотенузы, точку $M$, и перпендикулярная ей. Найдем положение точки $M$:

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Пусть серединный перпендикуляр пересекает больший катет $AC$ в точке $K$. Нам нужно найти длины отрезков $AK$ и $KC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle ACB$.

1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

2. $\angle ACB = 90^\circ$ (так как $\triangle ABC$ прямоугольный).

3. $\angle AMK = 90^\circ$ (по определению серединного перпендикуляра, он перпендикулярен гипотенузе $AB$).

Следовательно, $\triangle AMK$ подобен $\triangle ACB$ по двум углам (признак подобия УУ).

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{AM}{AC} = \frac{AK}{AB}$

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{10}{16} = \frac{AK}{20}$

Выразим и найдем длину отрезка $AK$:

$AK = \frac{10 \cdot 20}{16} = \frac{200}{16} = \frac{25}{2} = 12,5$ см.

Теперь найдем длину второго отрезка $KC$, зная, что точка $K$ лежит на катете $AC$:

$KC = AC - AK = 16 - 12,5 = 3,5$ см.

Таким образом, серединный перпендикуляр гипотенузы делит больший катет на отрезки длиной 12,5 см и 3,5 см.

Ответ: 12,5 см и 3,5 см.