Номер 15.8, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.8. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Известно, что $BO = 4$ см, $OD = 20$ см, $AC = 36$ см. Найдите отрезки $AO$ и $OC$.

15.8. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Известно, что $BO = 4$ см, $OD = 20$ см, $AC = 36$ см.

Найдите отрезки $AO$ и $OC$.

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $BO = 4$ см, $OD = 20$ см, $AC = 36$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Поскольку $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$.

При пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущими $AC$ и $BD$ образуются равные углы:

• $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
• $\angle OCB = \angle OAD$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $AC$).
• $\angle OBC = \angle ODA$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по трём углам (или по первому признаку подобия — по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD}$

Подставим известные значения длин отрезков диагонали $BD$:

$\frac{CO}{AO} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

Из этого соотношения мы можем выразить длину отрезка $AO$ через $CO$:

$AO = 5 \cdot CO$

Точка $O$ лежит на диагонали $AC$, поэтому сумма длин отрезков $AO$ и $CO$ равна длине всей диагонали $AC$:

$AO + CO = AC = 36$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} AO = 5 \cdot CO \\ AO + CO = 36 \end{cases}$

Подставим выражение для $AO$ из первого уравнения во второе:

$5 \cdot CO + CO = 36$

$6 \cdot CO = 36$

$CO = \frac{36}{6}$

$CO = 6$ см.

Теперь, зная длину $CO$, найдем длину $AO$, используя первое уравнение:

$AO = 5 \cdot CO = 5 \cdot 6 = 30$ см.

Проверим полученный результат: $AO + CO = 30 + 6 = 36$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: $AO = 30$ см, $OC = 6$ см.