Номер 15.6, страница 114 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.6. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $AD = 20$ см, $BC = 15$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей, $AO = 16$ см. Найдите отрезок $OC$.

15.6. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $AD = 20$ см, $BC = 15$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей, $AO = 16$ см. Найдите отрезок $OC$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle BOC $ и $ \triangle DOA $, которые образуются при пересечении диагоналей трапеции $ABCD$.

Так как в трапеции основания параллельны ($BC \parallel AD$), а диагонали являются секущими, то образуются равные накрест лежащие углы:

$ \angle OCB = \angle OAD $ (при секущей $AC$)

$ \angle OBC = \angle ODA $ (при секущей $BD$)

Поскольку два угла треугольника $ \triangle BOC $ соответственно равны двум углам треугольника $ \triangle DOA $, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} $

Используем часть пропорции с известными нам сторонами и искомым отрезком $OC$:

$ \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} $

Подставим известные значения из условия задачи: $BC = 15$ см, $AD = 20$ см, $AO = 16$ см.

$ \frac{15}{20} = \frac{OC}{16} $

Упростим левую часть дроби, сократив ее на 5:

$ \frac{3}{4} = \frac{OC}{16} $

Теперь найдем $OC$:

$ OC = \frac{3 \cdot 16}{4} = 3 \cdot 4 = 12 $ см.

Ответ: 12 см.