Вопросы, страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие точки называют замечательными точками треугольника?

2. Какие замечательные точки принадлежат одной прямой? Как называют эту прямую?

3. Сформулируйте теорему об окружности девяти точек.

1. Какие точки называют замечательными точками треугольника?

2. Какие замечательные точки принадлежат одной прямой? Как называют эту прямую?

3. Сформулируйте теорему об окружности девяти точек.

1. Какие точки называют замечательными точками треугольника?

Замечательными точками треугольника называют точки, положение которых однозначно определяется самим треугольником и не зависит от того, в каком порядке рассматриваются его вершины и стороны. Существует множество таких точек, но классическими считаются четыре:
1. Центроид (или центр тяжести) — точка пересечения медиан треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
2. Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или ее продолжение.
3. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Эта точка равноудалена от всех трех вершин треугольника.
4. Инцентр (или центр вписанной окружности) — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Эта точка равноудалена от всех трех сторон треугольника.

Ответ: Замечательными точками треугольника называют центроид, ортоцентр, центр описанной окружности и инцентр.

2. Какие замечательные точки принадлежат одной прямой? Как называют эту прямую?

В любом треугольнике, который не является равносторонним, три замечательные точки лежат на одной прямой: ортоцентр, центроид и центр описанной окружности. В равностороннем треугольнике эти три точки (а также инцентр) совпадают.
Эта прямая называется прямой Эйлера.
На прямой Эйлера центроид $G$ лежит между ортоцентром $H$ и центром описанной окружности $O$, причем он делит отрезок $HO$ в отношении $2:1$, то есть $HG = 2GO$. Инцентр лежит на прямой Эйлера только в равнобедренном треугольнике.

Ответ: Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности лежат на одной прямой, которая называется прямой Эйлера.

3. Сформулируйте теорему об окружности девяти точек.

Теорема об окружности девяти точек (также известная как окружность Эйлера или окружность Фейербаха) гласит, что в любом треугольнике девять определённых точек лежат на одной и той же окружности. Этими девятью точками являются:
- три середины сторон треугольника;
- три основания высот треугольника;
- три середины отрезков, соединяющих ортоцентр треугольника с его вершинами.

Центр этой окружности (центр девяти точек) лежит на прямой Эйлера, точно посередине между ортоцентром и центром описанной окружности. Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности треугольника.

Ответ: В любом треугольнике середины трёх сторон, основания трёх высот и середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности.