Номер 14.9, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.9. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите меньшее основание трапеции, если большее основание $AD$ равно $42$ см, $AB = 9$ см, $BM = 54$ см.

14.9. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите меньшее основание трапеции, если большее основание $AD$ равно 42 см, $AB = 9$ см, $BM = 54$ см.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$.

В трапеции основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
Так как прямые BC и AD параллельны, а прямая AM является для них секущей, то соответственные углы при этих прямых равны: $\angle MBC = \angle MAD$.
Аналогично, DM — секущая, поэтому $\angle MCB = \angle MDA$.
Угол при вершине M ($\angle BMC$) является общим для обоих треугольников.

Следовательно, треугольник $\triangle MBC$ подобен треугольнику $\triangle MAD$ по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{MB}{MA} = \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD}$

По условию задачи известно, что большее основание $AD = 42$ см, боковая сторона $AB = 9$ см, а отрезок $BM = 54$ см. Так как AD является большим основанием, точка B лежит на отрезке AM. Найдем длину стороны MA:

$MA = MB + AB = 54 + 9 = 63$ см.

Теперь, используя пропорцию, найдем длину меньшего основания BC:

$\frac{BC}{AD} = \frac{MB}{MA}$

Подставим известные значения:

$\frac{BC}{42} = \frac{54}{63}$

Сократим дробь в правой части уравнения (числитель и знаменатель делятся на 9):

$\frac{54}{63} = \frac{6}{7}$

Получаем:

$\frac{BC}{42} = \frac{6}{7}$

Выразим BC:

$BC = \frac{6}{7} \cdot 42 = 6 \cdot \frac{42}{7} = 6 \cdot 6 = 36$ см.

Ответ: 36 см.