Номер 14.5, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.5. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:

1) отрезок $BD$

если $AB = 16 \text{ см}$, $AC = 20 \text{ см}$, $DE = 15 \text{ см}$;

2) отрезок $AD$

если $AB = 28 \text{ см}$, $BC = 63 \text{ см}$, $BE = 27 \text{ см}$.

14.5. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:

1) отрезок $BD$, если $AB = 16$ см, $AC = 20$ см, $DE = 15$ см;

2) отрезок $AD$, если $AB = 28$ см, $BC = 63$ см, $BE = 27$ см.

Поскольку прямая DE параллельна стороне AC треугольника ABC, то треугольник DBE подобен треугольнику ABC. Это следует из того, что угол B является общим для обоих треугольников, а углы BDE и BAC равны как соответственные углы при параллельных прямых DE и AC и секущей AB.

Из подобия треугольников ($ \triangle DBE \sim \triangle ABC $) следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} $

1) отрезок BD, если AB = 16 см, AC = 20 см, DE = 15 см;

Для нахождения BD воспользуемся пропорцией:

$ \frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC} $

Подставим известные значения в формулу:

$ \frac{BD}{16} = \frac{15}{20} $

Упростим дробь в правой части равенства:

$ \frac{15}{20} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{3}{4} $

Теперь решим уравнение:

$ \frac{BD}{16} = \frac{3}{4} $

$ BD = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12 $ см.

Ответ: 12 см.

2) отрезок AD, если AB = 28 см, BC = 63 см, BE = 27 см.

Сначала найдем длину отрезка BD, используя другую пару из пропорции:

$ \frac{BD}{AB} = \frac{BE}{BC} $

Подставим известные значения:

$ \frac{BD}{28} = \frac{27}{63} $

Упростим дробь в правой части, сократив ее на 9:

$ \frac{27}{63} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{3}{7} $

Получим уравнение:

$ \frac{BD}{28} = \frac{3}{7} $

Отсюда найдем BD:

$ BD = 28 \cdot \frac{3}{7} = 12 $ см.

Отрезок AD является частью стороны AB. Так как точка D лежит между A и B, то $ AB = AD + DB $.

Чтобы найти AD, вычтем BD из AB:

$ AD = AB - BD = 28 - 12 = 16 $ см.

Ответ: 16 см.