Номер 14.4, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.4. На рисунке 14.8 $AB \parallel CD$. Найдите на этом рисунке подобные тре-угольники. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $AE/CE$; 2) $CD/AB$; 3) $AB/AE$.

Рис. 14.8

14.4. На рисунке 14.8 AB || CD. Найдите на этом рисунке подобные тре-угольники. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $ \frac{AE}{CE} $;

2) $ \frac{CD}{AB} $;

3) $ \frac{AB}{AE} $.

Рис. 14.8

Для того чтобы найти подобные треугольники и записать пропорции, рассмотрим треугольники $ \triangle ABE $ и $ \triangle CDE $.

Согласно условию задачи, прямые $ AB $ и $ CD $ параллельны ($ AB \parallel CD $).

1. Угол $ \angle E $ является общим для обоих треугольников ($ \angle AEB = \angle CED $).

2. Так как $ AB \parallel CD $, а $ AE $ является секущей, то соответственные углы при параллельных прямых равны: $ \angle BAE = \angle DCE $.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то по первому признаку подобия треугольников $ \triangle ABE \sim \triangle CDE $.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} $

На основе этого равенства запишем требуемые пропорции.

1) Пропорция, начинающаяся с отношения $ \frac{AE}{CE} $, является основной пропорцией, вытекающей из подобия треугольников. Она связывает это отношение с отношениями других соответственных сторон.
Ответ: $ \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} $

2) Чтобы получить пропорцию, начинающуюся с отношения $ \frac{CD}{AB} $, нужно взять основную пропорцию и "перевернуть" все дроби.
Ответ: $ \frac{CD}{AB} = \frac{CE}{AE} = \frac{DE}{BE} $

3) Отношение $ \frac{AB}{AE} $ — это отношение двух сторон в треугольнике $ \triangle ABE $. В подобном ему треугольнике $ \triangle CDE $ сторонами, соответственными $ AB $ и $ AE $, являются стороны $ CD $ и $ CE $. Так как треугольники подобны, отношение этих сторон будет таким же.
Ответ: $ \frac{AB}{AE} = \frac{CD}{CE} $