Номер 14.6, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.6. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см. Через точку $M$ стороны $AB$ проведена прямая, которая параллельна стороне $BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите неизвестные стороны треугольника $ABC$, если $AM = 4$ см, $MK = 8$ см, $AK = 9$ см.

14.6. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см. Через точку $M$ стороны $AB$ проведена прямая, которая параллельна стороне $BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите неизвестные стороны треугольника $ABC$, если $AM = 4$ см, $MK = 8$ см, $AK = 9$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMK$.

По условию задачи, прямая $MK$ параллельна стороне $BC$. Следовательно, $MK \parallel BC$.

Так как $MK \parallel BC$, то по свойству параллельных прямых и секущих:

• $\angle AMK = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $BC$ и секущей $AB$.
• $\angle AKM = \angle ACB$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $BC$ и секущей $AC$.

Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников ($\angle MAK = \angle BAC$).

Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, треугольники $AMK$ и $ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

$\triangle AMK \sim \triangle ABC$

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{MK}{BC}$

Подставим известные значения: $AB = 6$ см, $AM = 4$ см, $AK = 9$ см, $MK = 8$ см.

$\frac{4}{6} = \frac{9}{AC} = \frac{8}{BC}$

Коэффициент подобия $k = \frac{AM}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем неизвестные стороны треугольника $ABC$.

Нахождение стороны AC

Используем пропорцию $\frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC}$:

$\frac{4}{6} = \frac{9}{AC}$

Выразим $AC$:

$AC = \frac{6 \cdot 9}{4} = \frac{54}{4} = 13.5$ см.

Ответ: $AC = 13.5$ см.

Нахождение стороны BC

Используем пропорцию $\frac{AM}{AB} = \frac{MK}{BC}$:

$\frac{4}{6} = \frac{8}{BC}$

Выразим $BC$:

$BC = \frac{6 \cdot 8}{4} = \frac{48}{4} = 12$ см.

Ответ: $BC = 12$ см.