Номер 14.11, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.11. Точки $M$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Пользуясь определением подобных треугольников, докажите, что $\triangle MDK \sim \triangle BCD$.

14.11. Точки $M$ и $K$ – середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Пользуясь определением подобных треугольников, докажите, что $\triangle MDK \sim \triangle BCD$.

По определению, два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Чтобы доказать, что $\triangle MDK \sim \triangle BCD$, необходимо показать, что оба эти условия выполняются.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $BC = CD = AD = a$. Поскольку $M$ — середина стороны $CD$, а $K$ — середина стороны $AD$, то $MD = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$ и $DK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

1. Сравнение соответственных углов

Поскольку $ABCD$ — квадрат, все его углы равны $90^\circ$.

В треугольнике $\triangle BCD$:
- $\angle BCD = 90^\circ$ (как угол квадрата).
- Треугольник является прямоугольным и равнобедренным, так как $BC=CD=a$. Следовательно, углы при основании $BD$ равны: $\angle CBD = \angle CDB = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

В треугольнике $\triangle MDK$:
- $\angle MDK = 90^\circ$ (как угол квадрата).
- Треугольник является прямоугольным и равнобедренным, так как $MD=DK=a/2$. Следовательно, углы при основании $MK$ равны: $\angle DMK = \angle DKM = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Сравнивая соответственные углы треугольников $\triangle MDK$ и $\triangle BCD$, получаем:
- $\angle MDK = \angle BCD = 90^\circ$
- $\angle DMK = \angle CBD = 45^\circ$
- $\angle DKM = \angle CDB = 45^\circ$
Таким образом, все соответственные углы двух треугольников равны.

2. Сравнение отношений сходственных сторон

Сходственными называются стороны, лежащие напротив равных углов. Найдем отношения длин сходственных сторон:
- $\frac{MD}{BC} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$
- $\frac{DK}{CD} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$
- Для нахождения отношения гипотенуз $MK$ и $BD$ вычислим их длины по теореме Пифагора.
В $\triangle MDK$: $MK = \sqrt{MD^2 + DK^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
В $\triangle BCD$: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Их отношение: $\frac{MK}{BD} = \frac{a\sqrt{2}/2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, отношения всех сходственных сторон равны: $\frac{MD}{BC} = \frac{DK}{CD} = \frac{MK}{BD} = \frac{1}{2}$.

Поскольку все соответственные углы треугольников $\triangle MDK$ и $\triangle BCD$ равны и их сходственные стороны пропорциональны, то по определению подобных треугольников $\triangle MDK \sim \triangle BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $\triangle MDK$ и $\triangle BCD$ подобны, так как по определению подобия их соответственные углы равны ($\angle MDK = \angle BCD = 90^\circ$, $\angle DMK = \angle CBD = 45^\circ$, $\angle DKM = \angle CDB = 45^\circ$), а сходственные стороны пропорциональны с коэффициентом $\frac{1}{2}$ ($\frac{MD}{BC} = \frac{DK}{CD} = \frac{MK}{BD} = \frac{1}{2}$).