Номер 12.27, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.27. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = CB$) проведены медиана $CC_1$ и биссектриса $AA_1$. Найдите угол $ACB$, если $AA_1 = 2CC_1$.

12.27. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = CB$) проведены медиана $CC_1$ и биссектриса $AA_1$. Найдите угол $ACB$, если $AA_1 = 2CC_1$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$, так что $AC = CB$. $CC_1$ — медиана, проведенная к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $CC_1 \perp AB$, и $\triangle ACC_1$ является прямоугольным.

$AA_1$ — биссектриса угла $CAB$. Обозначим $\angle CAA_1 = \angle A_1AB = \alpha$. Тогда угол при основании $\angle CAB = 2\alpha$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle CBA = \angle CAB = 2\alpha$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому искомый угол $\angle ACB = 180^\circ - (\angle CAB + \angle CBA) = 180^\circ - (2\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 4\alpha$. Наша задача — найти значение $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$. В нем $\angle CAC_1 = \angle CAB = 2\alpha$. Выразим длину медианы $CC_1$ через сторону $AC$ и угол $\alpha$:
$sin(\angle CAC_1) = \frac{CC_1}{AC}$
$sin(2\alpha) = \frac{CC_1}{AC} \implies CC_1 = AC \cdot sin(2\alpha)$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABA_1$. Найдем его углы:
$\angle BAA_1 = \alpha$
$\angle ABA_1 = \angle CBA = 2\alpha$
$\angle AA_1B = 180^\circ - (\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 3\alpha$.

Применим теорему синусов для треугольника $\triangle ABA_1$:
$\frac{AA_1}{sin(\angle ABA_1)} = \frac{AB}{sin(\angle AA_1B)}$
$\frac{AA_1}{sin(2\alpha)} = \frac{AB}{sin(180^\circ - 3\alpha)}$
$AA_1 = \frac{AB \cdot sin(2\alpha)}{sin(3\alpha)}$.

Выразим сторону $AB$ через $AC$ и $\alpha$ из прямоугольного треугольника $\triangle ACC_1$:
$cos(\angle CAC_1) = \frac{AC_1}{AC}$. Так как $C_1$ — середина $AB$, то $AC_1 = \frac{AB}{2}$.
$cos(2\alpha) = \frac{AB/2}{AC} \implies AB = 2AC \cdot cos(2\alpha)$.

Подставим выражение для $AB$ в формулу для $AA_1$:
$AA_1 = \frac{(2AC \cdot cos(2\alpha)) \cdot sin(2\alpha)}{sin(3\alpha)}$.
Используя формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, получим $2sin(2\alpha)cos(2\alpha) = sin(4\alpha)$.
Таким образом, $AA_1 = \frac{AC \cdot sin(4\alpha)}{sin(3\alpha)}$.

По условию задачи $AA_1 = 2CC_1$. Подставим полученные выражения для $AA_1$ и $CC_1$:
$\frac{AC \cdot sin(4\alpha)}{sin(3\alpha)} = 2 \cdot (AC \cdot sin(2\alpha))$.

Сократим на $AC$ (так как $AC \neq 0$):
$\frac{sin(4\alpha)}{sin(3\alpha)} = 2sin(2\alpha)$.
Снова применим формулу синуса двойного угла для $sin(4\alpha)$:
$\frac{2sin(2\alpha)cos(2\alpha)}{sin(3\alpha)} = 2sin(2\alpha)$.

Поскольку $2\alpha$ — это угол при основании треугольника, $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$, значит $sin(2\alpha) \neq 0$. Можем сократить обе части уравнения на $2sin(2\alpha)$:
$\frac{cos(2\alpha)}{sin(3\alpha)} = 1 \implies cos(2\alpha) = sin(3\alpha)$.

Используем формулу приведения $sin(x) = cos(90^\circ - x)$:
$cos(2\alpha) = cos(90^\circ - 3\alpha)$.
Из этого равенства следует (учитывая, что углы в треугольнике должны быть положительными):
$2\alpha = 90^\circ - 3\alpha$
$5\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 18^\circ$.
(Второй случай $2\alpha = -(90^\circ-3\alpha)$ приводит к $\alpha = 90^\circ$, что невозможно для треугольника, так как $\angle CAB = 180^\circ$).

Теперь, зная $\alpha$, найдем искомый угол $\angle ACB$:
$\angle ACB = 180^\circ - 4\alpha = 180^\circ - 4 \cdot 18^\circ = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$.