Номер 12.20, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.20. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 4 : 3$. В каком отношении медиана $BK$:

1) делит отрезок $CM$;

2) делится отрезком $CM$?

12.20. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 4 : 3$. В каком отношении медиана $BK$:1) делит отрезок $CM$;2) делится отрезком $CM$?

Пусть O — точка пересечения медианы BK и отрезка CM.

Чтобы найти, в каком отношении медиана BK делит отрезок CM, нам необходимо определить отношение CO : OM. Для этого воспользуемся теоремой Менелая.

Рассмотрим треугольник AMC и секущую BOK. Секущая пересекает сторону AC в точке K, сторону CM в точке O и продолжение стороны AM в точке B.

Согласно теореме Менелая, справедливо следующее соотношение: $$ \frac{AB}{BM} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $$

Из условия задачи мы знаем, что $AM : MB = 4 : 3$. Если принять длину отрезка AM за $4x$, то длина MB будет $3x$. Тогда вся сторона AB будет равна $AM + MB = 4x + 3x = 7x$. Отсюда находим первое отношение: $$ \frac{AB}{BM} = \frac{7x}{3x} = \frac{7}{3} $$

По определению, медиана BK делит сторону AC пополам, поэтому точка K является серединой AC. Это означает, что $AK = KC$. Следовательно, второе отношение равно: $$ \frac{CK}{KA} = 1 $$

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая: $$ \frac{7}{3} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot 1 = 1 $$

Из этого уравнения выражаем искомое отношение: $$ \frac{MO}{OC} = \frac{3}{7} $$ Это означает, что $CO : OM = 7 : 3$.

Ответ: Медиана BK делит отрезок CM в отношении 7 : 3, считая от вершины C.

Чтобы найти, в каком отношении медиана BK делится отрезком CM, нам необходимо определить отношение BO : OK. Снова воспользуемся теоремой Менелая.

Рассмотрим треугольник ABK и секущую MOC. Секущая пересекает сторону AB в точке M, сторону BK в точке O и продолжение стороны AK в точке C.

Согласно теореме Менелая, справедливо соотношение: $$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BO}{OK} \cdot \frac{KC}{CA} = 1 $$

Из условия задачи нам известно первое отношение: $$ \frac{AM}{MB} = \frac{4}{3} $$

Поскольку K — середина AC, то длина всей стороны AC в два раза больше длины отрезка KC, то есть $AC = 2 \cdot KC$. Следовательно, находим второе отношение: $$ \frac{KC}{CA} = \frac{KC}{2 \cdot KC} = \frac{1}{2} $$

Подставим известные значения в формулу теоремы Менелая: $$ \frac{4}{3} \cdot \frac{BO}{OK} \cdot \frac{1}{2} = 1 $$

Упростим полученное выражение: $$ \frac{2}{3} \cdot \frac{BO}{OK} = 1 $$

Отсюда выражаем искомое отношение: $$ \frac{BO}{OK} = \frac{3}{2} $$ Это означает, что $BO : OK = 3 : 2$.

Ответ: Отрезок CM делит медиану BK в отношении 3 : 2, считая от вершины B.