Номер 12.25, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.25. На сторонах угла А отметили точки B₁, B₂, C₁ и C₂ так, что $ \frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2} $ (рис. 12.11). Докажите, что $B_1C_1 \parallel B_2C_2$.

Рис. 12.11

12.25. На сторонах угла А отметили точки B₁, B₂, C₁ и C₂ так, что $\frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2}$ (рис. 12.11). Докажите, что $B_1C_1 \parallel B_2C_2$.

Рис. 12.11

Для доказательства того, что $B_1C_1 \parallel B_2C_2$, мы воспользуемся теоремой, обратной теореме о пропорциональных отрезках, или признаком подобия треугольников. Преобразуем данное в условии равенство.

По условию задачи дано соотношение:

$$ \frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2} $$

Это равенство можно переписать, перевернув дроби:

$$ \frac{B_1B_2}{AB_1} = \frac{C_1C_2}{AC_1} $$

Прибавим к обеим частям равенства единицу:

$$ \frac{B_1B_2}{AB_1} + 1 = \frac{C_1C_2}{AC_1} + 1 $$

Приведем левую и правую части к общему знаменателю:

$$ \frac{B_1B_2 + AB_1}{AB_1} = \frac{C_1C_2 + AC_1}{AC_1} $$

Из рисунка видно, что точки $A$, $B_1$ и $B_2$ лежат на одной прямой, поэтому $AB_1 + B_1B_2 = AB_2$. Аналогично, $AC_1 + C_1C_2 = AC_2$. Подставим эти выражения в полученное выше равенство:

$$ \frac{AB_2}{AB_1} = \frac{AC_2}{AC_1} $$

Снова перевернем пропорцию:

$$ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2} $$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$.

1. Угол $\angle A$ у них общий.

2. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны, как мы только что показали: $ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2} $.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_2C_2$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов, в частности, $\angle AB_1C_1 = \angle AB_2C_2$.

Углы $\angle AB_1C_1$ и $\angle AB_2C_2$ являются соответственными при пересечении прямых $B_1C_1$ и $B_2C_2$ секущей $AB_2$. Так как эти соответственные углы равны, то прямые $B_1C_1$ и $B_2C_2$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $B_1C_1 \parallel B_2C_2$.