Номер 12.16, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.16. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, содержащей её среднюю линию.

12.16. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, содержащей её среднюю линию.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковой стороной $AB$.

Пусть $AM$ и $BM$ — биссектрисы углов $\angle DAB$ и $\angle CBA$ соответственно, и они пересекаются в точке $M$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$.

$\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $AM$ и $BM$ — биссектрисы, то:

$\angle MAB = \frac{1}{2} \angle DAB$

$\angle MBA = \frac{1}{2} \angle CBA$

Сумма этих двух углов в треугольнике $\triangle AMB$ равна:

$\angle MAB + \angle MBA = \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle CBA = \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle CBA) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AMB$ равен:

$\angle AMB = 180^\circ - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, треугольник $\triangle AMB$ является прямоугольным, где $AB$ — гипотенуза.

Пусть $K$ — середина боковой стороны $AB$. Проведем отрезок $MK$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AMB$ отрезок $MK$ является медианой, проведенной к гипотенузе.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине гипотенузы:

$MK = AK = BK = \frac{1}{2} AB$

Рассмотрим треугольник $\triangle AMK$. Так как $MK = AK$, он является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании $AM$ равны:

$\angle AMK = \angle MAK$

Поскольку $AM$ — биссектриса угла $\angle DAB$, то $\angle MAK = \angle MAD$.

Из двух последних равенств следует, что $\angle AMK = \angle MAD$.

Углы $\angle AMK$ и $\angle MAD$ являются накрест лежащими при прямых $MK$ и $AD$ и секущей $AM$. Так как эти углы равны, то прямые $MK$ и $AD$ параллельны ($MK \parallel AD$).

Прямая, содержащая среднюю линию трапеции, по определению проходит через середину боковой стороны (точку $K$) и параллельна основаниям ($AD$ и $BC$).

Мы установили, что прямая, проходящая через точки $M$ и $K$, параллельна основанию $AD$. Так как эта прямая проходит через середину боковой стороны $AB$ (точку $K$), она и является прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Поскольку точка $M$ лежит на этой прямой, то точка пересечения биссектрис принадлежит прямой, содержащей среднюю линию трапеции. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.