Номер 12.12, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.12. Средняя линия MK трапеции ABCD пересекает диагональ AC в точке E. Известно, что $ME = 4$ см, $EK = 6$ см. Найдите основания трапеции.

12.12. Средняя линия $MK$ трапеции $ABCD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $E$. Известно, что $ME = 4$ см, $EK = 6$ см. Найдите основания трапеции.

Пусть в трапеции ABCD основаниями являются BC и AD. Средняя линия MK соединяет середины боковых сторон AB и CD. По свойству средней линии трапеции, она параллельна основаниям: $MK \parallel BC$ и $MK \parallel AD$.

Рассмотрим треугольник ▵ABC. Точка M является серединой стороны AB. Отрезок ME является частью средней линии MK, поэтому $ME \parallel BC$. По теореме о средней линии треугольника, если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно второй стороне, то этот отрезок является средней линией. Следовательно, ME — средняя линия ▵ABC.

Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельного ей основания. Таким образом, для ▵ABC:
$ME = \frac{1}{2} BC$
Из условия известно, что $ME = 4$ см. Подставим это значение в формулу и найдем длину основания BC:
$BC = 2 \cdot ME = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ▵ACD. Поскольку ME является средней линией в ▵ABC, точка E (точка пересечения средней линии трапеции с диагональю AC) является серединой стороны AC. В то же время, точка K является серединой стороны CD по определению средней линии трапеции. Следовательно, EK — средняя линия треугольника ▵ACD.

Длина EK равна половине длины параллельного ей основания AD:
$EK = \frac{1}{2} AD$
Из условия известно, что $EK = 6$ см. Подставим это значение и найдем длину основания AD:
$AD = 2 \cdot EK = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Таким образом, основания трапеции равны 8 см и 12 см.
Ответ: 8 см и 12 см.