Номер 12.8, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.8. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $AC = 8$ см, отрезок $AD$ — медиана, отрезок $BE$ — высота, $BE = 12$ см. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DF$ на сторону $AC$. Найдите отрезок $DF$ и угол $ADF$.

12.8. В треугольнике ABC $AB = BC$, $AC = 8$ см, отрезок AD — медиана, отрезок BE — высота, $BE = 12$ см. Из точки D опущен перпендикуляр DF на сторону AC. Найдите отрезок DF и угол ADF.

отрезок DF
По условию задачи, отрезок $BE$ является высотой к стороне $AC$, а отрезок $DF$ — перпендикуляром к стороне $AC$. Следовательно, оба отрезка перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, а значит, они параллельны друг другу: $BE \parallel DF$.
Рассмотрим треугольник $BEC$. По условию, $AD$ — медиана, следовательно, точка $D$ является серединой стороны $BC$. Так как $D$ — середина стороны $BC$ и через нее проведена прямая $DF$, параллельная стороне $BE$, то по теореме о средней линии треугольника, отрезок $DF$ является средней линией треугольника $BEC$.
Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны.
$DF = \frac{1}{2}BE$
Подставим известное значение $BE = 12$ см:
$DF = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
Ответ: $DF = 6$ см.

угол ADF
Рассмотрим треугольник $ADF$. Так как $DF \perp AC$, то треугольник $ADF$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DFA = 90^\circ$. Чтобы найти угол $ADF$, определим длины его катетов. Длину катета $DF$ мы уже нашли, $DF = 6$ см. Найдем длину катета $AF$.
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как по условию $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике высота $BE$, проведенная к основанию $AC$, является также и медианой. Следовательно, точка $E$ — середина основания $AC$.
$AE = EC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Как мы установили ранее, $DF$ — средняя линия треугольника $BEC$. Это значит, что точка $F$ является серединой отрезка $EC$.
$EF = \frac{EC}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Длина отрезка $AF$ складывается из длин отрезков $AE$ и $EF$:
$AF = AE + EF = 4 + 2 = 6$ см.
Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $ADF$. Мы знаем длины его катетов: $AF = 6$ см и $DF = 6$ см. Так как катеты равны, треугольник $ADF$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. В таком треугольнике острые углы равны по $45^\circ$.
Следовательно, $\angle ADF = 45^\circ$.
Ответ: $\angle ADF = 45^\circ$.