Номер 11.18, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.18. Известно, что четырёхугольник $ABCD$ описанный. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются.

11.18. Известно, что четырёхугольник $ABCD$ описанный. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются.

Доказательство:

Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — это окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$ соответственно. Диагональ $AC$ является общей стороной для этих двух треугольников. Две окружности, вписанные в углы, образованные пересекающимися прямыми (в данном случае, в углы $A$ и $C$ треугольников), касаются друг друга тогда и только тогда, когда они касаются общей стороны (в данном случае $AC$) в одной и той же точке.

Докажем, что точки касания окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ со стороной $AC$ совпадают.

Обозначим точку касания окружности $\omega_1$ со стороной $AC$ как $K_1$, а точку касания окружности $\omega_2$ со стороной $AC$ как $K_2$.

Воспользуемся известной формулой для длины отрезка от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности: эта длина равна разности полупериметра и противолежащей стороны.

Для треугольника $ABC$ полупериметр $p_{ABC} = \frac{AB + BC + AC}{2}$. Расстояние от вершины $A$ до точки касания $K_1$ на стороне $AC$ равно: $AK_1 = p_{ABC} - BC = \frac{AB + BC + AC}{2} - BC = \frac{AB + AC - BC}{2}$

Для треугольника $ACD$ полупериметр $p_{ACD} = \frac{AC + CD + AD}{2}$. Расстояние от вершины $A$ до точки касания $K_2$ на стороне $AC$ равно: $AK_2 = p_{ACD} - CD = \frac{AC + CD + AD}{2} - CD = \frac{AC + AD - CD}{2}$

По условию задачи, четырёхугольник $ABCD$ является описанным. Основное свойство описанного четырёхугольника (теорема Пито) заключается в том, что суммы длин его противолежащих сторон равны: $AB + CD = BC + AD$

Преобразуем это равенство: $AB - BC = AD - CD$

Теперь сравним выражения для $AK_1$ и $AK_2$. Мы видим, что: $AK_1 = \frac{AC + (AB - BC)}{2}$ $AK_2 = \frac{AC + (AD - CD)}{2}$

Так как из свойства описанного четырёхугольника следует, что $AB - BC = AD - CD$, то и правые части выражений для $AK_1$ и $AK_2$ равны. Таким образом, $AK_1 = AK_2$.

Поскольку точки $K_1$ и $K_2$ лежат на одном отрезке $AC$ и находятся на одинаковом расстоянии от точки $A$, они совпадают. Это означает, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются общей стороны $AC$ в одной и той же точке. Следовательно, эти окружности касаются друг друга.

Ответ: Что и требовалось доказать.