Номер 11.14, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.14. Окружность пересекает все стороны четырёхугольника ABCD так, что $MN = KE = FP = RT$ (рис. 11.7). Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Рис. 11.7

11.14. Окружность пересекает все стороны четырёхугольника ABCD так, что $MN = KE = FP = RT$ (рис. 11.7). Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Рис. 11.7

Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны. Другое эквивалентное условие — существование точки, равноудаленной от всех его сторон. Докажем, что такое условие выполняется для четырехугольника $ABCD$.

Пусть $O$ — центр окружности, которая пересекает стороны четырехугольника. По условию, отрезки (хорды), высекаемые окружностью на сторонах четырехугольника, равны между собой:

$MN = KE = FP = RT$

Воспользуемся известным свойством окружности: равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Расстояние от центра окружности $O$ до хорды $MN$, лежащей на прямой $AB$, равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Обозначим это расстояние как $d_{AB}$.

Аналогично, расстояния от центра $O$ до хорд $KE$, $FP$ и $RT$ равны расстояниям от точки $O$ до прямых $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Обозначим их $d_{BC}$, $d_{CD}$ и $d_{DA}$.

Так как все хорды равны ($MN = KE = FP = RT$), то и расстояния от центра $O$ до них также равны:

$d_{AB} = d_{BC} = d_{CD} = d_{DA}$

Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех четырех прямых, содержащих стороны четырехугольника $ABCD$.

Точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника, является центром вписанной в него окружности. Следовательно, в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = d_{AB}$.

Таким образом, мы доказали, что в данный четырехугольник можно вписать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.