Номер 11.11, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.11. Две окружности имеют внешнее касание, прямые $AB$ и $CD$ — их общие касательные, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ — точки касания (рис. 11.6). Докажите, что в четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Рис. 11.6

11.11. Две окружности имеют внешнее касание, прямые $AB$ и $CD$ — их общие касательные, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ — точки касания (рис. 11.6). Докажите, что в четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Рис. 11.6

Для того чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Для четырёхугольника ABCD, образованного точками касания, это условие записывается в виде равенства: $AB + CD = AD + BC$. Докажем справедливость этого равенства.

Пусть даны две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно, которые касаются друг друга внешним образом. Прямые, содержащие отрезки AB и CD, являются общими внешними касательными к этим окружностям. Так как радиусы окружностей, в общем случае, не равны, эти прямые не параллельны и пересекаются в некоторой точке P. В силу симметрии всей конструкции, точка P лежит на линии центров $O_1O_2$.

Воспользуемся свойством касательных, проведённых из одной точки к окружности: их длины равны.

• Для точки P и первой окружности (с точками касания A и D) имеем: $PA = PD$.
• Для точки P и второй окружности (с точками касания B и C) имеем: $PB = PC$.

Стороны четырёхугольника AB и CD лежат на этих касательных. Их длины можно выразить как разность длин отрезков от точки P до точек касания (предполагая, что точки B и C лежат между P и точками A и D соответственно):$AB = PA - PB$$CD = PD - PC$Поскольку $PA = PD$ и $PB = PC$, то очевидно, что $AB = CD$.

Теперь равенство, которое нам нужно доказать, принимает вид $AB + AB = AD + BC$, или $2AB = AD + BC$.

Найдём длину отрезка AB. Длина общего внешнего касательного отрезка для двух окружностей, касающихся внешне, вычисляется по формуле $L = 2\sqrt{r_1r_2}$. Таким образом, $AB = CD = 2\sqrt{r_1r_2}$. Следовательно, нам нужно доказать, что $AD + BC = 4\sqrt{r_1r_2}$.

Найдём длины хорд AD и BC. Для этого рассмотрим геометрию, связанную с точкой P. Прямоугольные треугольники $\triangle PO_1A$ и $\triangle PO_2B$ подобны по общему острому углу P. Из подобия следует:$\frac{PO_1}{PO_2} = \frac{O_1A}{O_2B} = \frac{r_1}{r_2}$Так как окружности касаются внешне, расстояние между центрами $O_1O_2 = r_1 + r_2$. Также $PO_1 = PO_2 + O_1O_2 = PO_2 + r_1 + r_2$. Подставим это в пропорцию:$\frac{PO_2 + r_1 + r_2}{PO_2} = \frac{r_1}{r_2} \implies 1 + \frac{r_1+r_2}{PO_2} = \frac{r_1}{r_2} \implies \frac{r_1+r_2}{PO_2} = \frac{r_1-r_2}{r_2}$Отсюда $PO_2 = \frac{r_2(r_1+r_2)}{r_1-r_2}$ и $PO_1 = \frac{r_1}{r_2}PO_2 = \frac{r_1(r_1+r_2)}{r_1-r_2}$.

Пусть $\alpha = \angle APO_1 = \angle BPO_2$. В треугольнике $\triangle PO_1A$, $\sin\alpha = \frac{O_1A}{PO_1} = \frac{r_1}{r_1(r_1+r_2)/(r_1-r_2)} = \frac{r_1-r_2}{r_1+r_2}$.В равнобедренном треугольнике $\triangle APD$ ($PA=PD$) угол при вершине P равен $2\alpha$. Хорда AD, соединяющая точки касания, может быть найдена как $AD = 2PA\sin\alpha$.Длину отрезка $PA$ найдем из $\triangle PO_1A$: $PA = \sqrt{PO_1^2 - r_1^2} = \sqrt{\left(\frac{r_1(r_1+r_2)}{r_1-r_2}\right)^2 - r_1^2} = r_1 \sqrt{\frac{(r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2}{(r_1-r_2)^2}} = r_1 \frac{\sqrt{4r_1r_2}}{r_1-r_2} = \frac{2r_1\sqrt{r_1r_2}}{r_1-r_2}$.Теперь вычислим AD:$AD = 2PA\sin\alpha = 2 \cdot \frac{2r_1\sqrt{r_1r_2}}{r_1-r_2} \cdot \frac{r_1-r_2}{r_1+r_2} = \frac{4r_1\sqrt{r_1r_2}}{r_1+r_2}$.

Аналогичные вычисления проводим для хорды BC в равнобедренном треугольнике $\triangle BPC$.$PB = PA \cdot \frac{r_2}{r_1} = \frac{2r_2\sqrt{r_1r_2}}{r_1-r_2}$.$BC = 2PB\sin\alpha = 2 \cdot \frac{2r_2\sqrt{r_1r_2}}{r_1-r_2} \cdot \frac{r_1-r_2}{r_1+r_2} = \frac{4r_2\sqrt{r_1r_2}}{r_1+r_2}$.

Теперь найдем сумму длин сторон AD и BC:$AD + BC = \frac{4r_1\sqrt{r_1r_2}}{r_1+r_2} + \frac{4r_2\sqrt{r_1r_2}}{r_1+r_2} = \frac{4\sqrt{r_1r_2}(r_1+r_2)}{r_1+r_2} = 4\sqrt{r_1r_2}$.С другой стороны, сумма длин сторон AB и CD равна:$AB + CD = 2\sqrt{r_1r_2} + 2\sqrt{r_1r_2} = 4\sqrt{r_1r_2}$.Мы получили, что $AB + CD = AD + BC$. Так как суммы противолежащих сторон четырёхугольника ABCD равны, в него можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.