Номер 10.39, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.39. На медиане BM треугольника ABC отметили точку K так, что $\angle MKC = \angle BCM$. Докажите, что $\angle AKM = \angle BAM$.

10.39. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $\angle MKC = \angle BCM$. Докажите, что $\angle AKM = \angle BAM$.

Рассмотрим треугольники $ΔMBC$ и $ΔMCK$.

Угол $∠BMC$ является общим для обоих треугольников. По условию задачи дано, что $∠MKC = ∠BCM$. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180°$, то и третьи углы этих треугольников должны быть равны, то есть $∠MBC = ∠MCK$.

Таким образом, треугольники $ΔMBC$ и $ΔMCK$ подобны по трём углам. Соответствие вершин при подобии будет следующим: $ΔMBC \sim ΔMCK$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$$ \frac{MB}{MC} = \frac{MC}{MK} = \frac{BC}{CK} $$

Из первого равенства в пропорции, $ \frac{MB}{MC} = \frac{MC}{MK} $, получаем соотношение $MC^2 = MB \cdot MK$.

По условию, $BM$ – медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что $AM = MC$.

Заменив в полученном равенстве $MC$ на $AM$, получим: $AM^2 = MB \cdot MK$.

Это равенство можно переписать в виде пропорции: $ \frac{AM}{MB} = \frac{MK}{AM} $.

Теперь рассмотрим треугольники $ΔAMK$ и $ΔBMA$.

Угол $∠AMB$ является общим для этих двух треугольников ($∠AMK$ и $∠BMA$ — это один и тот же угол). Как мы только что показали, стороны, прилежащие к этому углу в данных треугольниках, пропорциональны: $ \frac{AM}{MB} = \frac{MK}{AM} $.

Следовательно, треугольники $ΔAMK$ и $ΔBMA$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Соответствие вершин: $ΔAMK \sim ΔBMA$.

Из подобия этих треугольников следует равенство соответствующих углов. Угол $∠AKM$ в треугольнике $ΔAMK$ лежит напротив стороны $AM$. Соответствующий ему угол в треугольнике $ΔBMA$ лежит напротив стороны $BM$. Этим углом является $∠BAM$.

Таким образом, $∠AKM = ∠BAM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.