Номер 10.34, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.34. Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его гипотенузе $AB$ построен квадрат $ABFD$. Докажите, что $\angle ACO = \angle OCB$, где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата.

10.34. Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его гипотенузе $AB$ построен квадрат $ABFD$. Докажите, что $\angle ACO = \angle OCB$, где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата.

Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник, где $\angle ACB = 90^\circ$. На его гипотенузе $AB$ построен квадрат $ABFD$. Точка $O$ — центр квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей. Требуется доказать, что $CO$ является биссектрисой угла $\angle ACB$, то есть $\angle ACO = \angle OCB$.

Для доказательства воспользуемся свойством точек, лежащих на одной окружности.

1. Рассмотрим окружность, построенную на гипотенузе $AB$ как на диаметре. Так как $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, то по свойству вписанного угла (угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$), точка $C$ лежит на этой окружности.

2. Теперь рассмотрим положение точки $O$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей квадрата $ABFD$. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу. Следовательно, угол $\angle AOB = 90^\circ$.

3. Для треугольника $\triangle AOB$ отрезок $AB$ является гипотенузой, а угол $\angle AOB$ — прямым. Это означает, что точка $O$ также лежит на окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре.

4. Из пунктов 1 и 3 следует, что все четыре точки — $A$, $B$, $C$ и $O$ — лежат на одной и той же окружности с диаметром $AB$.

5. В этой окружности углы $\angle ACO$ и $\angle OCB$ являются вписанными углами. Угол $\angle ACO$ опирается на дугу $AO$. Угол $\angle OCB$ опирается на дугу $OB$.

6. Поскольку $O$ — центр квадрата, она равноудалена от его вершин. В частности, $OA = OB$ (как половины равных диагоналей). Таким образом, хорды $AO$ и $OB$ в нашей окружности равны.

7. В одной окружности равные хорды стягивают равные дуги. Следовательно, дуга $AO$ равна дуге $OB$.

8. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны между собой. Отсюда получаем, что $\angle ACO = \angle OCB$.

Таким образом, утверждение доказано. Отрезок $CO$ делит прямой угол $\angle ACB$ пополам.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A, B, C, O$ лежат на одной окружности с диаметром $AB$. В этой окружности хорды $AO$ и $BO$ равны, так как $O$ — центр квадрата. Следовательно, равны и вписанные углы $\angle ACO$ и $\angle OCB$, опирающиеся на эти хорды.