Номер 10.37, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.37. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $K$ и $M$ — середины соответственно отрезков $BC$ и $OD$. Найдите угол $AMK$.

10.37. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $K$ и $M$ — середины соответственно отрезков $BC$ и $OD$. Найдите угол $AMK$.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина квадрата $A$ находится в начале координат $(0,0)$, а его стороны лежат на осях координат. Пусть длина стороны квадрата равна $2a$. Тогда координаты вершин квадрата будут следующими:

$A(0; 0)$, $B(2a; 0)$, $C(2a; 2a)$, $D(0; 2a)$.

Диагонали квадрата пересекаются в его центре. Найдем координаты точки пересечения диагоналей $O$ как середину диагонали $AC$:

$O\left(\frac{0+2a}{2}; \frac{0+2a}{2}\right) = O(a; a)$.

Точка $K$ — середина отрезка $BC$. Найдем ее координаты:

$K\left(\frac{2a+2a}{2}; \frac{0+2a}{2}\right) = K(2a; a)$.

Точка $M$ — середина отрезка $OD$. Найдем ее координаты:

$M\left(\frac{a+0}{2}; \frac{a+2a}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}; \frac{3a}{2}\right)$.

Чтобы найти угол $AMK$, мы можем использовать векторы. Найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MK}$:

$\vec{MA} = A - M = \left(0 - \frac{a}{2}; 0 - \frac{3a}{2}\right) = \left(-\frac{a}{2}; -\frac{3a}{2}\right)$.

$\vec{MK} = K - M = \left(2a - \frac{a}{2}; a - \frac{3a}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}; -\frac{a}{2}\right)$.

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{MA} \cdot \vec{MK} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{3a}{2}\right) + \left(-\frac{3a}{2}\right) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) = -\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

Таким образом, $\angle AMK = 90^\circ$.

Альтернативный способ после нахождения координат — использовать теорему Пифагора для треугольника $AMK$. Найдем квадраты длин его сторон:

$AM^2 = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{9a^2}{4} = \frac{10a^2}{4} = \frac{5a^2}{2}$.

$MK^2 = \left(\frac{3a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{9a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{10a^2}{4} = \frac{5a^2}{2}$.

$AK^2 = (2a-0)^2 + (a-0)^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2$.

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

$AM^2 + MK^2 = \frac{5a^2}{2} + \frac{5a^2}{2} = \frac{10a^2}{2} = 5a^2$.

Так как $AM^2 + MK^2 = AK^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $AMK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Ответ: $90^\circ$.