Номер 9.11, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.11. К двум окружностям, пересекающимся в точках $M$ и $K$, проведена общая касательная, $A$ и $B$ — точки касания. Докажите, что

$\angle AMB + \angle AKB = 180^{\circ}$.

9.11. К двум окружностям, пересекающимся в точках $M$ и $K$, проведена общая касательная, $A$ и $B$ — точки касания. Докажите, что $\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Эта теорема гласит, что угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, которую стягивает эта хорда.

Рассмотрим первую окружность, которой касательная $AB$ касается в точке $A$ и которая проходит через точки $M$ и $K$. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол $\angle BAM$ (угол между касательной $AB$ и хордой $AM$) равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $AM$, то есть углу $\angle AKM$.
$\angle BAM = \angle AKM$

Теперь рассмотрим вторую окружность, которой касательная $AB$ касается в точке $B$ и которая проходит через точки $M$ и $K$. Аналогично, угол $\angle ABM$ (угол между касательной $AB$ и хордой $BM$) равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $BM$, то есть углу $\angle BKM$.
$\angle ABM = \angle BKM$

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$:
$\angle AMB + \angle BAM + \angle ABM = 180^{\circ}$

В последнем равенстве заменим $\angle BAM$ и $\angle ABM$ на равные им углы, которые мы нашли ранее:
$\angle AMB + \angle AKM + \angle BKM = 180^{\circ}$

Углы $\angle AKM$ и $\angle BKM$ вместе образуют угол $\angle AKB$. Таким образом, их сумма равна величине угла $\angle AKB$:
$\angle AKM + \angle BKM = \angle AKB$

Подставив это в предыдущее уравнение, получаем искомое равенство:
$\angle AMB + \angle AKB = 180^{\circ}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle AMB + \angle AKB = 180^{\circ}$ доказано.