Номер 8.60, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.60. Постройте квадрат по четырём точкам, лежащим по одной на каждой из четырёх его сторон.

8.60. Постройте квадрат по четырём точкам, лежащим по одной на каждой из четырёх его сторон.

Для построения квадрата по четырём точкам, лежащим на его сторонах, воспользуемся методом, основанным на геометрических преобразованиях, в частности, на повороте. Суть метода заключается в нахождении направления сторон искомого квадрата.

Пусть даны четыре точки $P_1, P_2, P_3, P_4$. Предположим, что эти точки лежат на сторонах квадрата $ABCD$ последовательно: $P_1$ на стороне $AB$, $P_2$ на $BC$, $P_3$ на $CD$ и $P_4$ на $DA$. В этом случае точки $P_1$ и $P_3$ лежат на противоположных сторонах, так же как и точки $P_2$ и $P_4$.

Рассмотрим отрезки, соединяющие противолежащие точки: $P_1P_3$ и $P_2P_4$. Пусть $s$ — длина стороны искомого квадрата. Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно $s$. Это расстояние можно выразить как проекцию вектора $\vec{P_1P_3}$ на направление, перпендикулярное этим сторонам. Аналогично, расстояние $s$ между сторонами $BC$ и $DA$ равно проекции вектора $\vec{P_2P_4}$ на направление, перпендикулярное им.

Пусть стороны $BC$ и $DA$ параллельны некоторому вектору $\vec{d}$. Тогда стороны $AB$ и $CD$ будут перпендикулярны $\vec{d}$. Условие равенства сторон квадрата приводит к следующему векторному соотношению, которое определяет направление $\vec{d}$: $$ \vec{d} \text{ параллелен вектору } \vec{P_2P_4} \pm R_{90}(\vec{P_1P_3}) $$ где $R_{90}(\vec{P_1P_3})$ — это вектор, полученный поворотом вектора $\vec{P_1P_3}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки. Знак $\pm$ указывает на то, что, как правило, существуют два решения для данной расстановки точек.

Это соотношение лежит в основе следующего алгоритма построения.

Построение

Пусть заданы четыре точки $P_1, P_2, P_3, P_4$. Для построения одного из возможных квадратов выполним следующие шаги:

1. Соединим точки $P_1$ и $P_3$ отрезком.
2. Построим прямую, проходящую через точку $P_4$ и перпендикулярную прямой $P_1P_3$.
3. С помощью циркуля измерим длину отрезка $P_1P_3$.
4. На перпендикулярной прямой, построенной в шаге 2, отложим от точки $P_4$ отрезок $P_4Q$, равный по длине отрезку $P_1P_3$. Для точки $Q$ есть два возможных положения; выберем одно из них.
5. Проведём прямую через точки $P_2$ и $Q$. Эта прямая задаёт направление одной из сторон искомого квадрата.
6. Через точки $P_2$ и $P_4$ проведём прямые, параллельные прямой $P_2Q$.
7. Через точки $P_1$ и $P_3$ проведём прямые, перпендикулярные прямой $P_2Q$.
8. Пересечения этих четырёх прямых образуют вершины искомого квадрата.

Исследование числа решений

В условии задачи не указано, какая из данных точек на какой стороне лежит. Существует три способа разбить четыре точки на две пары "противоположных":

• Пары $(P_1, P_3)$ и $(P_2, P_4)$.
• Пары $(P_1, P_2)$ и $(P_3, P_4)$.
• Пары $(P_1, P_4)$ и $(P_2, P_3)$.

Для каждого из этих разбиений можно применить описанный выше алгоритм построения. В шаге 4 построения есть выбор одного из двух положений для точки $Q$, что, как правило, приводит к двум различным решениям для каждого разбиения. Таким образом, в общем случае задача может иметь до $3 \times 2 = 6$ решений. Если какие-либо точки совпадают или расположены особым образом (например, $|P_1P_3| = |P_2P_4|$), число решений может уменьшиться.

Ответ:

Алгоритм построения квадрата по четырём точкам $P_1, P_2, P_3, P_4$, которые должны лежать по одной на его сторонах, заключается в следующем. Сначала необходимо выбрать пару точек, которые будут лежать на противоположных сторонах (например, $P_1$ и $P_3$), и пару для двух других противоположных сторон ($P_2$ и $P_4$). Затем выполнить построение:

1. Построить прямую $L$, проходящую через $P_1$ и $P_3$.
2. Построить прямую $M$, проходящую через $P_4$ и перпендикулярную $L$.
3. На прямой $M$ найти точку $Q$ такую, что расстояние $P_4Q$ равно расстоянию $P_1P_3$.
4. Прямая $N$, проходящая через точки $P_2$ и $Q$, задает направление сторон квадрата.
5. Две стороны квадрата проходят через точки $P_2$ и $P_4$ параллельно прямой $N$.
6. Две другие стороны проходят через точки $P_1$ и $P_3$ перпендикулярно прямой $N$.

Пересечения этих четырех прямых образуют искомый квадрат. Выбор другого разбиения точек на пары или другого положения точки $Q$ может привести к другим решениям задачи.