Номер 8.59, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.59. На хорде $AB$ окружности с центром $O$ отметили точку $C$. Описанная окружность треугольника $AOC$ пересекает данную окружность в точке $D$. Докажите, что $BC = CD$.

8.59. На хорде $AB$ окружности с центром $O$ отметили точку $C$. Описанная окружность треугольника $AOC$ пересекает данную окружность в точке $D$. Докажите, что $BC = CD$.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle OBC$ и $\triangle ODC$. Докажем, что эти треугольники равны (конгруэнтны). Из их равенства будет следовать и равенство интересующих нас сторон $BC$ и $CD$.

1. Стороны $OB$ и $OD$ в этих треугольниках равны, так как обе являются радиусами данной окружности с центром $O$. Таким образом, $OB = OD$.

2. Сторона $OC$ является общей для обоих треугольников.

3. Сравним углы $\angle OBC$ и $\angle ODC$.

По условию, точки $A$, $O$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности (описанной окружности $\triangle AOC$). Это означает, что четырехугольник $AOCD$ является вписанным в окружность. В вписанном четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle OAC$ и $\angle ODC$ опираются на дугу $OC$. Следовательно, $\angle ODC = \angle OAC$.

Поскольку точка $C$ лежит на хорде $AB$, углы $\angle OAC$ и $\angle OAB$ совпадают. В треугольнике $\triangle OAB$ стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы, поэтому $\triangle OAB$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Угол $\angle OBA$ совпадает с углом $\angle OBC$.

Объединяя полученные равенства, мы имеем цепочку: $\angle ODC = \angle OAC = \angle OAB = \angle OBA = \angle OBC$. Отсюда следует, что $\angle ODC = \angle OBC$.

4. Итак, для треугольников $\triangle OBC$ и $\triangle ODC$ мы установили:

• $OB = OD$ (сторона)
• $OC = OC$ (сторона)
• $\angle OBC = \angle ODC$ (угол, противолежащий стороне $OC$)

Это соответствует признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу, лежащему напротив одной из них (SSA). Этот признак не всегда гарантирует однозначное равенство, поэтому рассмотрим возможные случаи.

По теореме синусов для $\triangle OBC$ имеем $\frac{OC}{\sin(\angle OBC)} = \frac{OB}{\sin(\angle OCB)}$. Аналогично для $\triangle ODC$: $\frac{OC}{\sin(\angle ODC)} = \frac{OD}{\sin(\angle OCD)}$. Так как $OB = OD$ и $\sin(\angle OBC) = \sin(\angle ODC)$, из этих соотношений следует, что $\sin(\angle OCB) = \sin(\angle OCD)$.

Равенство синусов двух углов означает, что либо сами углы равны, либо их сумма равна $180^\circ$.
Случай 1: $\angle OCB = \angle OCD$.
Случай 2: $\angle OCB + \angle OCD = 180^\circ$.

Разберем Случай 2. Точки $A$, $C$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle OCA$ и $\angle OCB$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$: $\angle OCA + \angle OCB = 180^\circ$. Сравнивая это с условием Случая 2, мы получаем, что $\angle OCA = \angle OCD$.

Так как центр окружности $O$ не лежит на хорде $AB$, равенство $\angle OCA = \angle OCD$ возможно только тогда, когда луч $CD$ совпадает с лучом $CA$. Это означает, что точка $D$ лежит на прямой $AB$. Но $D$ также лежит на данной окружности, поэтому $D$ может совпадать только с $A$ или $B$. По условию, $D$ — точка пересечения, отличная от $A$, значит, в этом случае $D$ должно совпадать с $B$. Если $D = B$, то доказываемое равенство $BC = CD$ принимает вид $BC = CB$, что очевидно.

Рассматривая нетривиальный случай, когда $D \neq B$, мы должны исключить Случай 2. Тогда остается только Случай 1: $\angle OCB = \angle OCD$.

Теперь мы имеем, что в треугольниках $\triangle OBC$ и $\triangle ODC$ равны две пары углов: $\angle OBC = \angle ODC$ и $\angle OCB = \angle OCD$. Следовательно, третья пара углов также равна: $\angle BOC = \angle DOC$. Таким образом, треугольники $\triangle OBC$ и $\triangle ODC$ равны, например, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам): у них общая сторона $OC$, и прилежащие к ней углы соответственно равны ($\angle OCB = \angle OCD$ и $\angle BOC = \angle DOC$).

Из равенства треугольников $\triangle OBC \cong \triangle ODC$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $BC = CD$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BC = CD$ доказано.