Номер 8.53, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.53. В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $H$ — ортоцентр, точка $O$ — центр описанной окружности, точка $J$ — центр вписанной окружности, $ \angle BAC = 60^\circ $. Докажите, что точки $B, H, O, J$ и $C$ лежат на одной окружности.

8.53. В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $H$ — ортоцентр, точка $O$ — центр описанной окружности, точка $J$ — центр вписанной окружности, $\angle BAC = 60^{\circ}$. Докажите, что точки $B, H, O, J$ и $C$ лежат на одной окружности.

Для доказательства того, что точки B, H, O, J и C лежат на одной окружности, достаточно показать, что отрезок BC виден из точек H, O и J под одним и тем же углом. Так как треугольник ABC остроугольный, его ортоцентр H, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности J лежат внутри него, а значит, по одну сторону от прямой BC.

Вычислим последовательно углы $\angle BHC$, $\angle BOC$ и $\angle BJC$.

Вычисление угла $\angle BHC$
Пусть H — ортоцентр треугольника ABC, то есть точка пересечения его высот. Пусть $BB_1$ и $CC_1$ — высоты, проведенные из вершин B и C соответственно. Рассмотрим четырехугольник $AC_1HB_1$. В нем углы $\angle AC_1H$ и $\angle AB_1H$ являются прямыми. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому сумма двух других углов $\angle C_1HB_1 + \angle BAC = 180^\circ$. Углы $\angle BHC$ и $\angle C_1HB_1$ являются вертикальными, следовательно, $\angle BHC = \angle C_1HB_1$. Таким образом, $\angle BHC = 180^\circ - \angle BAC$. По условию $\angle BAC = 60^\circ$, значит: $\angle BHC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Вычисление угла $\angle BOC$
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Угол $\angle BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол $\angle BAC$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. По свойству центральных и вписанных углов, величина центрального угла вдвое больше величины вписанного угла. $\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC$. По условию $\angle BAC = 60^\circ$, значит: $\angle BOC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Вычисление угла $\angle BJC$
Пусть J — центр вписанной окружности (инцентр) треугольника ABC. J является точкой пересечения биссектрис. Следовательно, BJ и CJ — биссектрисы углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$ соответственно. В треугольнике BJC имеем: $\angle JBC = \frac{1}{2}\angle ABC$ $\angle JCB = \frac{1}{2}\angle ACB$ Сумма углов треугольника BJC равна $180^\circ$: $\angle BJC = 180^\circ - (\angle JBC + \angle JCB) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$. Из треугольника ABC известно, что $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC$. Подставим это выражение: $\angle BJC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle BAC$. По условию $\angle BAC = 60^\circ$, значит: $\angle BJC = 90^\circ + \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

Итак, мы получили, что $\angle BHC = \angle BOC = \angle BJC = 120^\circ$. Поскольку точки H, O, J лежат по одну сторону от прямой BC и отрезок BC виден из этих точек под одним и тем же углом, то точки B, C, H, O, J лежат на одной окружности (на дуге, стягиваемой хордой BC).

Ответ: Утверждение доказано. Точки B, H, O, J и C лежат на одной окружности, так как отрезок BC виден из точек H, O и J, находящихся по одну сторону от прямой BC, под одним и тем же углом, равным $120^\circ$.