Номер 8.41, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.41. Постройте прямоугольный треугольник $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ по точкам $A$, $B$ и точке $M$, лежащей на биссектрисе угла $C$.

8.41. Постройте прямоугольный треугольник $ABC (\angle C = 90^\circ)$ по точкам $A, B$ и точке $M$, лежащей на биссектрисе угла $C$.

Для построения прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ по заданным точкам $A$, $B$ и точке $M$, лежащей на биссектрисе угла $C$, воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Решение задачи состоит из анализа, построения, доказательства и исследования.

Анализ

1. Геометрическое место точек, из которых отрезок $AB$ виден под прямым углом ($\angle C = 90^\circ$), представляет собой окружность $\Omega$, построенную на отрезке $AB$ как на диаметре. Следовательно, искомая вершина $C$ должна лежать на этой окружности.

2. Точка $M$ по условию лежит на биссектрисе угла $C$. Это означает, что прямая, проходящая через точки $C$ и $M$, делит угол $\angle ACB$ пополам.

3. Известна теорема: биссектриса угла, вписанного в окружность, пересекает дугу, стягиваемую сторонами этого угла, в её середине. В нашем случае треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Биссектриса угла $\angle ACB$ пересекает окружность $\Omega$ в середине дуги $AB$.

На основании этого можно сделать вывод: прямая $CM$ должна проходить через одну из середин дуг $AB$ окружности $\Omega$. Таких точек две, обозначим их $L_1$ и $L_2$. Таким образом, искомая вершина $C$ является точкой пересечения окружности $\Omega$ и прямой, проходящей через данную точку $M$ и одну из точек $L_1$ или $L_2$.

Построение

1. Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком.
2. Находим середину $O$ отрезка $AB$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
3. Строим окружность $\Omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OB$.
4. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Он пересекает окружность $\Omega$ в двух точках, которые являются серединами дуг $AB$. Обозначим эти точки $L_1$ и $L_2$.
5. Проводим прямую через заданную точку $M$ и точку $L_1$.
6. Проводим прямую через заданную точку $M$ и точку $L_2$.
7. Находим точки пересечения этих прямых с окружностью $\Omega$:
   • Прямая $ML_1$ пересекает окружность $\Omega$ в точке $L_1$ и в искомой точке $C_1$.
   • Прямая $ML_2$ пересекает окружность $\Omega$ в точке $L_2$ и в искомой точке $C_2$.
8. Соединяя вершины, получаем искомые треугольники $\triangle ABC_1$ и $\triangle ABC_2$.

Доказательство

Рассмотрим один из построенных треугольников, например, $\triangle ABC_1$.

1. По построению, вершина $C_1$ лежит на окружности $\Omega$, диаметром которой является отрезок $AB$. Следовательно, вписанный угол $\angle AC_1B$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABC_1$ — прямоугольный.

2. По построению, точки $C_1$, $M$ и $L_1$ лежат на одной прямой. Точка $L_1$ является серединой дуги $AB$. Согласно свойству биссектрисы вписанного угла, прямая $C_1L_1$ является биссектрисой угла $\angle AC_1B$.

3. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $C_1L_1$, она лежит и на биссектрисе угла $C_1$.

Все условия задачи для треугольника $\triangle ABC_1$ выполнены. Аналогичное доказательство справедливо и для треугольника $\triangle ABC_2$.

Исследование

В зависимости от положения точки $M$ задача может иметь разное количество решений.

• Два решения: В общем случае, когда точка $M$ не лежит на серединном перпендикуляре к $AB$ и не совпадает с точками $L_1$ и $L_2$, прямые $ML_1$ и $ML_2$ различны и пересекают окружность в двух разных точках $C_1$ и $C_2$. Это наиболее частый случай.
• Одно решение: Если точка $M$ лежит на касательной к окружности $\Omega$, проходящей через одну из точек $L_1$ или $L_2$, то одна из прямых ($ML_1$ или $ML_2$) будет иметь с окружностью только одну общую точку, и решение будет одно. Также одно решение будет, если $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, но не в центре $O$ (тогда $C_1=L_2$ и $C_2=L_1$, но так как $M, L_1, L_2$ на одной прямой, то $ML_1$ и $ML_2$ - это одна и та же прямая, дающая два решения $C_1=L_1$ и $C_2=L_2$. Это дает два равнобедренных прямоугольных треугольника. Так что в этом случае все равно два решения).
• Бесконечно много решений: Если точка $M$ совпадает с одной из точек $L_1$ или $L_2$, то положение прямой $CM$ становится неопределенным. Любая точка $C$ на окружности $\Omega$ (кроме $A$ и $B$) может быть вершиной искомого треугольника.
• Нет решений: Если $M$ совпадает с $A$ или $B$, задача не имеет решения, так как биссектриса угла треугольника не может проходить через другую его вершину.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму. В общем случае задача имеет два решения.