Номер 8.32, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.32. Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что ортоцентр треугольника $ABC$ является центром вписанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$.

8.32. Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что ортоцентр треугольника $ABC$ является центром вписанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$.

Пусть $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $AH_a, BH_b, CH_c$ — его высоты, проведенные к сторонам $BC, AC$ и $AB$ соответственно. По условию, прямые, содержащие высоты, пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1, B_1, C_1$. Это означает, что точки $A, H, H_a, A_1$ лежат на одной прямой; $B, H, H_b, B_1$ — на одной прямой; $C, H, H_c, C_1$ — на одной прямой.

Чтобы доказать, что точка $H$ является центром вписанной окружности (инцентром) треугольника $A_1B_1C_1$, необходимо показать, что $H$ является точкой пересечения его биссектрис. То есть, нужно доказать, что лучи $A_1H, B_1H$ и $C_1H$ являются биссектрисами углов $\angle C_1A_1B_1, \angle A_1B_1C_1$ и $\angle B_1C_1A_1$ соответственно.

Докажем, что $A_1H$ является биссектрисой угла $\angle C_1A_1B_1$. Поскольку точки $A, H$ и $A_1$ лежат на одной прямой, это эквивалентно доказательству того, что прямая $A_1A$ делит угол $\angle C_1A_1B_1$ пополам, то есть $\angle C_1A_1A = \angle B_1A_1A$.

Точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ лежат на одной (описанной) окружности. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол $\angle C_1A_1A$ опирается на дугу $C_1A$. На эту же дугу опирается вписанный угол $\angle C_1CA$. Следовательно, $\angle C_1A_1A = \angle C_1CA$.

Угол $\angle B_1A_1A$ опирается на дугу $B_1A$. На эту же дугу опирается вписанный угол $\angle B_1BA$. Следовательно, $\angle B_1A_1A = \angle B_1BA$.

Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $\angle C_1CA = \angle B_1BA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AH_cС$. Поскольку $CH_c$ — высота, то $\angle AH_cC = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle H_cCA = 180^\circ - 90^\circ - \angle CAH_c = 90^\circ - \angle CAB$. Так как точки $C, H_c, C_1$ лежат на одной прямой, то $\angle C_1CA = \angle H_cCA = 90^\circ - \angle A$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AH_bB$. Поскольку $BH_b$ — высота, то $\angle AH_bB = 90^\circ$. Аналогично, $\angle H_bBA = 180^\circ - 90^\circ - \angle BAH_b = 90^\circ - \angle BAC$. Так как точки $B, H_b, B_1$ лежат на одной прямой, то $\angle B_1BA = \angle H_bBA = 90^\circ - \angle A$.

Мы получили, что $\angle C_1CA = 90^\circ - \angle A$ и $\angle B_1BA = 90^\circ - \angle A$. Отсюда следует, что $\angle C_1CA = \angle B_1BA$.

Так как $\angle C_1A_1A = \angle C_1CA$ и $\angle B_1A_1A = \angle B_1BA$, то мы можем заключить, что $\angle C_1A_1A = \angle B_1A_1A$. Это означает, что прямая $A_1A$, на которой лежит ортоцентр $H$, является биссектрисой угла $\angle C_1A_1B_1$.

Аналогично доказывается, что $B_1H$ является биссектрисой угла $\angle A_1B_1C_1$ (через равенство углов $90^\circ - \angle B$) и $C_1H$ является биссектрисой угла $\angle B_1C_1A_1$ (через равенство углов $90^\circ - \angle C$).

Поскольку ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $A_1B_1C_1$, он по определению является центром вписанной окружности этого треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.