Номер 8.26, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.26. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность в точке $D$. Точки $O$ и $J$ — центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ соответственно. Постройте треугольник $ABC$ по точкам $O$, $J$ и $D$.

8.26. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D. Точки O и J — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC соответственно. Постройте треугольник ABC по точкам O, J и D.

Для построения треугольника $ABC$ по заданным точкам $O$ (центр описанной окружности), $J$ (центр вписанной окружности) и $D$ (точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью), необходимо использовать ключевые геометрические свойства, связывающие эти точки.

Анализ и ключевые свойства

1. Поскольку $O$ — центр описанной окружности, а точка $D$ лежит на ней, мы можем построить саму описанную окружность $\Omega$. Ее центр находится в точке $O$, а радиус равен длине отрезка $OD$. Все вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ лежат на этой окружности.
2. Биссектриса угла $A$ по определению проходит через вершину $A$ и центр вписанной окружности $J$. По условию, она также проходит через точку $D$. Следовательно, точки $A$, $J$ и $D$ лежат на одной прямой. Это свойство позволяет нам однозначно определить положение вершины $A$.
3. Центральным фактом для решения этой задачи является теорема о трезубце (также известная как лемма о трилистнике). Она гласит, что точка $D$ пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью равноудалена от вершин $B$, $C$ и центра вписанной окружности $J$. Таким образом, выполняется равенство: $DB = DC = DJ$.

Докажем это свойство:

• $DB = DC$: Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle BAD = \angle CAD$. Вписанные углы, опирающиеся на дуги $BD$ и $CD$ соответственно, равны. Равным вписанным углам соответствуют равные дуги, а равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, $DB = DC$.
• $DB = DJ$: Рассмотрим треугольник $JBD$. Чтобы доказать, что он равнобедренный ($DB = DJ$), покажем равенство углов при его основании $BJ$, то есть $\angle JBD = \angle BJD$.
  • Вычислим $\angle JBD$. Он равен сумме углов $\angle JBC$ и $\angle CBD$. Поскольку $J$ — инцентр, $BJ$ — биссектриса угла $B$, поэтому $\angle JBC = \frac{\angle B}{2}$. Угол $\angle CBD$ — вписанный и опирается на ту же дугу $CD$, что и угол $\angle CAD$. Следовательно, $\angle CBD = \angle CAD = \frac{\angle A}{2}$. Таким образом, $\angle JBD = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle A}{2}$.
  • Вычислим $\angle BJD$. Этот угол является внешним для треугольника $ABJ$ при вершине $J$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BJD = \angle JAB + \angle JBA$. Так как $AJ$ и $BJ$ — биссектрисы, то $\angle JAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle JBA = \frac{\angle B}{2}$. Отсюда, $\angle BJD = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}$.
  Поскольку $\angle JBD = \angle BJD$, треугольник $JBD$ является равнобедренным, и $DB = DJ$.

Таким образом, свойство $DB = DC = DJ$ доказано. Оно позволяет найти вершины $B$ и $C$.

Алгоритм построения

На основе проведенного анализа, искомый треугольник $ABC$ можно построить следующим образом:

1. Построение описанной окружности $\Omega$. С центром в точке $O$ проводим окружность радиусом $R = OD$.
2. Нахождение вершины $A$. Проводим прямую через точки $J$ и $D$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\Omega$, отличная от $D$, является вершиной $A$.
3. Нахождение вершин $B$ и $C$. С центром в точке $D$ проводим вспомогательную окружность $\Gamma$ радиусом, равным длине отрезка $DJ$. Точки, в которых окружность $\Gamma$ пересекает описанную окружность $\Omega$, являются вершинами $B$ и $C$.
4. Построение треугольника $ABC$. Соединяем отрезками точки $A$, $B$ и $C$.

Исследование

Задача имеет решение, если окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в двух различных точках. Это происходит, когда расстояние между их центрами (отрезок $OD$) больше разности их радиусов и меньше их суммы: $|OD - DJ| < OD < OD + DJ$. Это неравенство сводится к одному условию: $DJ < 2 \cdot OD$. Если $DJ = 2 \cdot OD$, окружности касаются, треугольник вырождается в отрезок. Если $DJ > 2 \cdot OD$, окружности не пересекаются, и решения не существует. При выполнении условия $DJ < 2 \cdot OD$ задача имеет единственное решение (с точностью до обозначения вершин $B$ и $C$).

Ответ:

Для построения треугольника $ABC$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить окружность $\Omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $OD$.
2. Провести прямую $JD$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\Omega$, не совпадающая с $D$, есть вершина $A$.
3. Построить окружность $\Gamma$ с центром в точке $D$ и радиусом $DJ$.
4. Точки пересечения окружностей $\Omega$ и $\Gamma$ являются вершинами $B$ и $C$.
5. Соединить точки $A, B, C$ отрезками для получения искомого треугольника $ABC$.