Номер 8.21, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.21. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между двумя параллельными хордами, равны.

8.21. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между двумя параллельными хордами, равны.

Пусть в окружности проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$). Эти хорды высекают на окружности дуги $AC$ и $BD$, заключённые между ними. Требуется доказать, что градусные меры этих дуг равны, то есть $\stackrel{\frown}{AC} = \stackrel{\frown}{BD}$.

Для доказательства проведём дополнительное построение: соединим точки $A$ и $D$, получив хорду $AD$.

Так как хорды $AB$ и $CD$ параллельны, а хорда $AD$ является для них секущей, то внутренние накрест лежащие углы $\angle CDA$ и $\angle DAB$ равны:

$\angle CDA = \angle DAB$

Угол $\angle CDA$ является вписанным в окружность и опирается на дугу $AC$. По свойству вписанного угла, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

$\angle CDA = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AC}$

Аналогично, вписанный угол $\angle DAB$ опирается на дугу $BD$, и его величина равна:

$\angle DAB = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{BD}$

Поскольку мы ранее установили, что $\angle CDA = \angle DAB$, мы можем приравнять правые части выражений для этих углов:

$\frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AC} = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{BD}$

Умножив обе части этого равенства на 2, получаем искомое соотношение:

$\stackrel{\frown}{AC} = \stackrel{\frown}{BD}$

Таким образом, доказано, что градусные меры дуг окружности, заключённых между двумя параллельными хордами, равны.

Ответ: Утверждение доказано. Градусные меры дуг, заключенных между параллельными хордами, равны.