Номер 8.14, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.14. Окружность, построенная на стороне $AB$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что отрезки $AK$ и $BM$ — высоты треугольника $ABC$.

8.14. Окружность, построенная на стороне $AB$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что отрезки $AK$ и $BM$ — высоты треугольника $ABC$.

Построим окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом, равным половине длины AB. По условию, отрезок AB является диаметром этой окружности. Окружность пересекает прямую AC в точке M и прямую BC в точке K.

Рассмотрим угол $ \angle AMB $. Этот угол является вписанным в окружность, и он опирается на диаметр AB. По свойству вписанного угла, который опирается на диаметр, его величина составляет $90^\circ$. Таким образом, $ \angle AMB = 90^\circ $.

Это означает, что отрезок BM перпендикулярен прямой AC. По определению, высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Следовательно, отрезок BM является высотой треугольника ABC, проведенной из вершины B.

Аналогично рассмотрим угол $ \angle AKB $. Этот угол также является вписанным и опирается на диаметр AB. Следовательно, его величина также равна $90^\circ$, то есть $ \angle AKB = 90^\circ $.

Это означает, что отрезок AK перпендикулярен прямой BC. Таким образом, отрезок AK является высотой треугольника ABC, проведенной из вершины A.

Мы доказали, что отрезки AK и BM являются высотами треугольника ABC.

Ответ: Что и требовалось доказать.