Номер 8.9, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.9. Вершины квадрата $ABCD$ лежат на окружности. На дуге $AB$ отметили произвольную точку $M$. Докажите, что $\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB$.

8.9. Вершины квадрата $ABCD$ лежат на окружности. На дуге $AB$ отметили произвольную точку $M$. Докажите, что $\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB$.

Поскольку вершины квадрата $ABCD$ лежат на окружности, то он является вписанным в эту окружность. Стороны квадрата $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ являются равными хордами данной окружности.

Равные хорды стягивают равные дуги. Следовательно, дуги, на которые вершины квадрата делят окружность, равны между собой: $\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DA$.

Сумма градусных мер всех четырех дуг составляет $360^\circ$, поэтому градусная мера каждой из них равна: $\cup BC = \cup CD = \cup DA = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Точка $M$ лежит на дуге $AB$, следовательно, она также является точкой на окружности. Углы $\angle AMD$, $\angle CMD$ и $\angle CMB$ — это вписанные углы, так как их общая вершина $M$ лежит на окружности.

По свойству вписанных углов, их величина равна половине градусной меры дуги, на которую они опираются.

Рассчитаем величину каждого угла:

1. Угол $\angle AMD$ опирается на дугу $AD$. Его величина: $\angle AMD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

2. Угол $\angle CMD$ опирается на дугу $CD$. Его величина: $\angle CMD = \frac{1}{2} \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

3. Угол $\angle CMB$ опирается на дугу $BC$. Его величина: $\angle CMB = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Таким образом, мы получили, что все три угла равны между собой и их величина составляет $45^\circ$: $\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB = 45^\circ$.

Ответ: Равенство $\angle AMD = \angle CMD = \angle CMB$ доказано.