Номер 8.8, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.8. Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

8.8. Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Пусть на этой окружности даны две равные дуги: дуга $AB$ и дуга $CD$. Хорда, стягивающая дугу $AB$, — это отрезок $AB$. Хорда, стягивающая дугу $CD$, — это отрезок $CD$.

Дано:
Окружность с центром $O$.
Дуга $AB$ = Дуга $CD$.
$AB$ и $CD$ — хорды, стягивающие эти дуги.

Доказать:
$AB = CD$.

Доказательство:

1. Соединим концы хорд $A$, $B$, $C$ и $D$ с центром окружности $O$. В результате мы получим два треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

2. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Центральный угол, соответствующий дуге $AB$, — это $\angle AOB$. Центральный угол, соответствующий дуге $CD$, — это $\angle COD$.
Поскольку по условию дуга $AB$ равна дуге $CD$, то соответствующие им центральные углы также равны: $\angle AOB = \angle COD$.

3. Рассмотрим стороны треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.
Стороны $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно, все они равны между собой: $OA = OB = OC = OD = R$.

4. Теперь сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Мы можем применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
- $OA = OC$ (как радиусы одной окружности).
- $OB = OD$ (как радиусы одной окружности).
- $\angle AOB = \angle COD$ (поскольку они опираются на равные дуги).
Из этих трех равенств следует, что $\triangle AOB = \triangle COD$.

5. Так как треугольники равны, то равны и все их соответствующие элементы, включая стороны. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$ является соответствующей стороне $CD$ в треугольнике $\triangle COD$.
Следовательно, $AB = CD$.

Таким образом, мы доказали, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.