Номер 8.12, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.12. Докажите, что если вписанный угол является прямым, то он опирается на диаметр.

8.12. Докажите, что если вписанный угол является прямым, то он опирается на диаметр.

Пусть в окружности задан вписанный угол $∠ABC$, который является прямым, то есть $∠ABC = 90°$. Вершина угла $B$ и точки $A$ и $C$ лежат на окружности. Угол $∠ABC$ опирается на хорду $AC$. Требуется доказать, что хорда $AC$ является диаметром данной окружности.

Доказательство основано на теореме о вписанном угле, которая гласит, что градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Для угла $∠ABC$ и дуги $AC$ это соотношение можно записать в виде формулы:
$∠ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}AC$

По условию задачи, угол $∠ABC$ является прямым, следовательно, его мера составляет $90°$. Подставим это значение в нашу формулу:
$90° = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}AC$

Теперь выразим из этого уравнения градусную меру дуги $AC$:
$\text{◡}AC = 2 \cdot 90° = 180°$

Дуга, градусная мера которой равна $180°$, является полуокружностью. Хорда, которая соединяет концы полуокружности (то есть стягивает дугу в $180°$), по определению проходит через центр окружности и является ее диаметром.

Таким образом, хорда $AC$ является диаметром окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Если вписанный угол равен $90°$, то, согласно теореме о вписанном угле, он опирается на дугу, градусная мера которой равна $2 \cdot 90° = 180°$. Дуга в $180°$ — это полуокружность, а хорда, которая её стягивает, является диаметром окружности.